ДИСПЕРСИО́ННОЕ УРАВНЕ́НИЕ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ДИСПЕРСИО́ННОЕ УРАВНЕ́НИЕ, соотношение, связывающее частоты ω и волновые векторы \boldsymbol k собственных гармонич. волн (нормальных волн) в линейных однородных системах: непрерывных средах, волноводах, передающих линиях, периодич. структурах и др. Д. у. записывается в явном [ω=ω(\boldsymbol k)] или неявном [f(ω, 𝑘)=0] виде. В изотропных средах частота зависит только от модуля волнового вектора: ω=ω(𝑘). В тех случаях, когда зависимость ω(\boldsymbol k) неоднозначна, выделяют однозначные ветви Д. у. ω=ω_n(\boldsymbol k) (\textsf{где } n=1, 2, ...), соответствующие нормальным модам системы, т. е. совокупностям нормальных волн с одинаковой структурой. Графич. изображение корней Д. у. на плоскости (𝑘 , ω ) называется дисперсионной кривой.
Д. у. определяет фазовые скорости гармонич. волн в направлении \boldsymbol k (v_ф=ω /k ), групповые скорости перемещения квазигармонич. одномодовых волновых пакетов (\boldsymbol v_{гр}=𝜕ω/𝜕\boldsymbol k), расплывание пакетов. В области комплексных значений ω и \boldsymbol k Д. у. определяет временны́е и пространственные инкременты (или декременты) процессов распространения волн.
Д. у. являются следствием динамич. уравнений движения и краевых условий на границах раздела сред. И наоборот, по виду Д. у. при наличии определённой априорной информации о системе могут быть восстановлены динамич. уравнения процессов. Напр., так было получено уравнение Шрёдингера, описывающее волновые свойства частицы. Однако эта процедура неоднозначна.
Напр., одно и то же Д. у. ω^2=ω_0^2+u^2k^2 соответствует: электромагнитным волнам в изотропной плазме, плазменным волнам, волнам в радиоволноводах, волнам в акустич. волноводах, элементарной частице в релятивистской волновой механике. При этом критич. частоты ω_0 и характерные скорости u имеют разные значения и физич. смысл.
Существует обобщение Д. у. на нелинейные стационарные волновые процессы (периодич. нелинейные волны или уединённые волны – солитоны). В этом случае нелинейное Д. у. связывает амплитуду стационарной волны с её структурными параметрами – характерными временами и масштабами (см. Нелинейные колебания и волны).
В квантовой теории твёрдого тела Д. у. – зависимость энергии ℰ квазичастицы от импульса \boldsymbol p (см. Дисперсии закон).