ДИСПЕРСИО́ННОЕ УРАВНЕ́НИЕ

ДИСПЕРСИО́ННОЕ УРАВНЕ́НИЕ, со­от­но­ше­ние, свя­зы­ваю­щее час­то­ты $ω$ и вол­но­вые век­то­ры $\boldsymbol k$ соб­ст­вен­ных гар­мо­нич. волн (нор­маль­ных волн) в ли­ней­ных од­но­род­ных сис­те­мах: не­пре­рыв­ных сре­дах, вол­но­во­дах, пе­ре­даю­щих ли­ни­ях, пе­рио­дич. струк­ту­рах и др. Д. у. за­пи­сы­ва­ет­ся в яв­ном $[ω=ω(\boldsymbol k)]$ или не­яв­ном $[f(ω, 𝑘)=0]$ ви­де. В изо­троп­ных сре­дах час­то­та за­ви­сит толь­ко от мо­ду­ля вол­но­во­го век­то­ра: $ω=ω(𝑘)$. В тех слу­ча­ях, ко­гда за­ви­си­мость $ω(\boldsymbol k)$ не­од­но­знач­на, вы­де­ля­ют од­но­знач­ные вет­ви Д. у. $ω=ω_n(\boldsymbol k) (\textsf{где } n=1, 2, ...),$ со­от­вет­ст­вую­щие нор­маль­ным мо­дам сис­темы, т. е. со­во­куп­но­стям нор­маль­ных волн с оди­на­ко­вой струк­ту­рой. Гра­фич. изо­бра­же­ние кор­ней Д. у. на плос­ко­сти $(𝑘 , ω )$ на­зы­ва­ет­ся дис­пер­си­он­ной кри­вой.

Д. у. оп­ре­де­ля­ет фа­зо­вые ско­ро­сти гар­мо­нич. волн в на­прав­ле­нии $\boldsymbol k (v_ф=ω /k )$, груп­по­вые ско­ро­сти пе­ре­ме­ще­ния ква­зи­гар­мо­нич. од­но­мо­до­вых вол­но­вых па­ке­тов $(\boldsymbol v_{гр}=𝜕ω/𝜕\boldsymbol k)$, рас­плы­ва­ние па­ке­тов. В об­лас­ти ком­плекс­ных зна­че­ний $ω$ и $\boldsymbol k$ Д. у. оп­ре­де­ля­ет вре­мен­ны́е и про­стран­ст­вен­ные ин­кре­мен­ты (или дек­ре­мен­ты) про­цес­сов рас­про­стра­не­ния волн.

Д. у. яв­ля­ют­ся след­ст­ви­ем ди­на­мич. урав­не­ний дви­же­ния и крае­вых ус­ло­вий на гра­ни­цах раз­де­ла сред. И на­обо­рот, по ви­ду Д. у. при на­ли­чии оп­ре­де­лён­ной ап­ри­ор­ной ин­фор­ма­ции о сис­те­ме мо­гут быть вос­ста­нов­ле­ны ди­на­мич. урав­не­ния про­цес­сов. Напр., так бы­ло по­лу­че­но урав­не­ние Шрё­дин­ге­ра, опи­сы­ваю­щее вол­но­вые свой­ст­ва час­ти­цы. Од­на­ко эта про­це­ду­ра не­од­но­знач­на.

Напр., од­но и то же Д. у. $ω^2=ω_0^2+u^2k^2$ со­от­вет­ст­ву­ет: элек­тро­маг­нит­ным вол­нам в изо­троп­ной плаз­ме, плаз­мен­ным вол­нам, вол­нам в ра­дио­вол­но­во­дах, вол­нам в аку­стич. вол­но­во­дах, эле­мен­тар­ной час­ти­це в ре­ля­ти­ви­ст­ской вол­но­вой ме­ха­ни­ке. При этом кри­тич. час­то­ты $ω_0$ и ха­рак­тер­ные ско­ро­сти $u$ име­ют раз­ные зна­че­ния и фи­зич. смысл.

Су­ще­ст­ву­ет обоб­ще­ние Д. у. на не­ли­ней­ные ста­цио­нар­ные вол­но­вые про­цес­сы (пе­рио­дич. не­ли­ней­ные вол­ны или уе­ди­нён­ные вол­ны – со­ли­то­ны). В этом слу­чае не­ли­ней­ное Д. у. свя­зы­ва­ет ам­пли­ту­ду ста­цио­нар­ной вол­ны с её струк­тур­ны­ми па­ра­мет­ра­ми – ха­рак­тер­ны­ми вре­ме­на­ми и мас­шта­ба­ми (см. Не­ли­ней­ные ко­ле­ба­ния и вол­ны).

В кван­то­вой тео­рии твёр­до­го те­ла Д. у. – за­ви­си­мость энер­гии $ℰ$ ква­зи­части­цы от им­пуль­са $\boldsymbol p$ (см. Дис­пер­сии за­кон).