БЕРНУ́ЛЛИ УРАВНЕ́НИЕ

БЕРНУ́ЛЛИ УРАВНЕ́НИЕ, од­но из осн. урав­не­ний гид­ро­ди­на­ми­ки, свя­зы­ваю­щее ско­рость $v$ ус­та­но­вив­ше­го­ся дви­же­ния жид­ко­сти, дав­ле­ние $p$ в ней и вы­соту $h$ рас­по­ло­же­ния ма­ло­го объ­ё­ма жид­ко­сти над плос­ко­стью от­счё­та. В слу­чае иде­аль­ной не­сжи­мае­мой жид­ко­сти, на­хо­дя­щей­ся под дей­ст­ви­ем толь­ко си­лы тя­же­сти и имею­щей по­сто­ян­ную плот­ность $ρ$, Б. у. име­ет вид: $$gh+\frac pρ + \frac {v^2}2 = \text {const},$$

где $g$ – ус­ко­ре­ние си­лы тя­же­сти. Для это­го слу­чая урав­не­ние бы­ло вы­ве­де­но Д. Бер­нул­ли в 1738.

Ес­ли это урав­не­ние ум­но­жить на $ρ$, то сум­ма пер­вых двух чле­нов бу­дет рав­на по­тен­ци­аль­ной энер­гии жид­ко­сти, а тре­тий член – ки­не­тич. энер­гии дви­жу­щей­ся жид­ко­сти. Та­ким об­ра­зом, Б. у. вы­ра­жа­ет за­кон со­хра­не­ния энер­гии и ус­та­нав­ли­ва­ет связь ме­ж­ду дав­ле­ни­ем и ско­ро­стью дви­жу­щей­ся жид­ко­сти: ес­ли вдоль ли­нии то­ка ско­рость уве­ли­чи­ва­ет­ся, то дав­ле­ние па­да­ет, и на­обо­рот (на этом ос­но­ван прин­цип ра­бо­ты рас­хо­до­ме­ра Вен­ту­ри, см. Вен­ту­ри труб­ка). При дос­та­точ­но боль­шой ско­ро­сти в не­ко­то­рых точ­ках по­то­ка жид­ко­сти дав­ление мо­жет упасть до ве­ли­чин, близ­ких к дав­ле­нию на­сы­щен­но­го па­ра этой жид­ко­сти, и воз­ни­ка­ет ка­ви­та­ция.

Из Б. у. вы­те­ка­ет ряд важ­ных след­ст­вий. Напр., при ис­те­че­нии жид­ко­сти из от­кры­то­го со­су­да вы­со­ты $h$ под дей­ст­ви­ем си­лы тя­же­сти из Б. у. сле­ду­ет, что ско­рость жид­ко­сти в вы­ход­ном от­вер­стии $v=\sqrt{2gh}$, т. е. рав­на ско­ро­сти сво­бод­но­го па­де­ния час­тиц жид­ко­сти с вы­со­ты $h$.

В ре­аль­ной жид­ко­сти ме­ха­нич. энер­гия не со­хра­ня­ет­ся вдоль по­то­ка, а рас­хо­ду­ет­ся на ра­бо­ту сил тре­ния и рас­сеи­ва­ет­ся в ви­де те­п­ло­вой энер­гии. Вклю­чив в Б. у. ра­бо­ту сил тре­ния (гид­рав­лич. по­те­ри) и ме­ха­нич. ра­бо­ту (ра­бо­ту ком­прес­со­ра или тур­би­ны), урав­не­ни­ем поль­зу­ют­ся в гид­рав­ли­ке при рас­чё­те те­че­ний жид­ко­стей и га­зов в тру­бо­про­во­дах и в ма­ши­но­строе­нии при рас­чё­те гид­рав­лич. и га­зо­вых ма­шин. Б. у. для сре­ды с пе­ре­мен­ной плот­но­стью вме­сте с урав­не­ни­ем со­хра­не­ния мас­сы и урав­не­ни­ем со­стоя­ния яв­ля­ет­ся ос­но­вой га­зо­вой ди­на­ми­ки.