ЭПИЦИКЛО́ИДА

Рис. 1.

ЭПИЦИКЛО́ИДА, пло­ская кри­вая, тра­ек­то­рия точ­ки, про­из­во­дя­щей ок­руж­но­сти ра­диу­са $r$, ка­тя­щей­ся без сколь­же­ния по дру­гой не­под­виж­ной ок­руж­но­сти ра­диу­са $R$ вне её. На рис. 1 $O$ и $O_1$ – цен­тры не­под­виж­ной и про­из­во­дя­щей ок­руж­но­стей, $N$ – точ­ка их ка­са­ния, $M$ – вы­чер­чи­ваю­щая точ­ка ($A$ – её ис­ход­ное по­ло­же­ние), $t$ – угол по­во­ро­та про­из­во­дя­щей ок­руж­но­сти, $AM$ – уча­сток эпи­цик­лои­ды.

Рис. 2.

Па­ра­мет­рич. урав­не­ния$$x=(R+mR)\cos mt-mR\cos(t+mt),\\ y=(R+mR)\sin mt-mR\sin(t+mt),$$ где $m=r/R$, $t$ – па­ра­метр. Фор­ма кри­вой за­ви­сит от зна­че­ния $m$ (на рис. 2, а $m=1/3$, на рис. 2, б $m=2/3$). Ес­ли $m=p/q$, где $p$ и $q$ – вза­им­но про­стые чис­ла, то точ­ка  $M$ по­сле $q$ пол­ных обо­ро­тов про­из­во­дя­щей ок­руж­но­сти воз­вра­ща­ет­ся в ис­ход­ное по­ло­же­ние и Э. – замк­ну­тая кри­вая, со­стоя­щая из $q$ вет­вей с $q$ точ­ка­ми воз­вра­та. При $m$ ир­ра­цио­наль­ном мно­же­ст­во вет­вей бес­ко­неч­но, точ­ка $M$ в ис­ход­ное по­ло­же­ние не воз­вра­ща­ет­ся. См. так­же Эпи­тро­хои­да.