ХАРАКТЕРИЗА́ЦИЯ ВЕРОЯ́ТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЙ

ХАРАКТЕРИЗА́ЦИЯ ВЕРОЯ́ТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЙ, опи­са­ние свойств рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей с по­мо­щью к.-л. дру­гих свойств этих рас­пре­де­ле­ний.

При­ме­ры Х. в. р. 1. Ес­ли рас­пре­де­ле­ние не­от­ри­ца­тель­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ име­ет плот­ность и для лю­бых $x ⩾ 0$, $t > 0$ ус­лов­ная ве­ро­ят­ность$$\mathsf{P}\{X ⩾ x+t∣X ⩾ x\}=P\{ X ⩾ t\}$$(это свой­ст­во на­зы­ва­ет­ся от­сут­ст­ви­ем по­сле­дей­ст­вия), то $X$ име­ет по­ка­за­тель­ное рас­пре­де­ле­ние$$\mathsf{P}\{X ⩾ t\}=e^{–λt},\,t ⩾ 0,$$ с не­ко­то­рым па­ра­мет­ром $λ > 0$.

2. Пусть $X$ – трёх­мер­ный слу­чай­ный век­тор та­кой, что
а) его про­ек­ции $X_1$,$X_2$,$X_3$ на к.-л. три вза­им­но ор­то­го­наль­ные оси не­за­ви­си­мы и
б) плот­ность $p(x)$,$x=(x_1,x_2,x_3)$, рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей $X$ за­ви­сит толь­ко от $x_1^2+x_2^2+x_3^2$. То­гда рас­пре­де­ле­ние $X$ нор­маль­но и$$p(x)=\frac{1}{(2π)^{3/2}σ^2}\exp\left\{ -\frac{1}{2σ^2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right\},$$где $σ > 0$ – не­ко­то­рая по­сто­ян­ная.