ФУНКЦИОНА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ФУНКЦИОНА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ, уравнение, в котором неизвестным является элемент к.-л. банахова пространства $X$, конкретного (функционального) или абстрактного, т. е. уравнение вида $$P(x)=y,\tag{*}$$где $P(x)$ – некоторый, вообще говоря, нелинейный оператор, переводящий элементы банахова пространства $X$ в элементы банахова пространства $Y$. Если Ф. у. содержит ещё и числовой (или общий функциональный) параметр λ, то вместо (*) пишут $P(x; λ)=y$, где $x∈X$, $y∈Y$, $λ∈Λ$, $Λ$ – пространство параметров.
Уравнениями вида (*) являются конкретные или абстрактные дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, интегральные уравнения, интегро-дифференциальные уравнения и более сложные уравнения математич. анализа, а также системы алгебраич. уравнений конечные и бесконечные, уравнения в конечных разностях и др.
Если решения Ф. у. являются элементами пространства операторов, то такие Ф. у. называются операторными уравнениями.
Под Ф. у. в узком смысле понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции (композиции функций). Системы Ф. у. в некоторых случаях удобно записываются в краткой записи в виде векторного или матричного функционального уравнения.
Одни из простейших Ф. у. – уравнения Коши$$f(x+y)=f(x)+f(y),\\ f(x+y)=f(x)f(y),\\ f(xy)=f(x)f(y),$$ непрерывные решения которых имеют, соответственно, вид$$f(x)=Cx, f(x)=e^{Cx}, f(x)=x^C.$$
Решения Ф. у. в узком смысле и систем таких уравнений могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций.
Точные решения в виде аналитич. выражений получаются лишь для немногих типов Ф. у., поэтому особое значение имеют приближённые методы решения. Для нахождения решения общих Ф. у. вида (*) развит ряд общих методов, напр. метод бесконечных степенных рядов и метод последовательных приближений. Существуют спец. методы решения конкретных Ф. у., в т. ч. численные методы, напр. сеток метод.