ФУНДАМЕНТА́ЛЬНАЯ ПОСЛЕ́ДОВАТЕЛЬНОСТЬ

ФУНДАМЕНТА́ЛЬНАЯ ПОСЛЕ́ДОВАТЕЛЬ­НОСТЬ (по­сле­до­ва­тель­ность Ко­ши, схо­дя­щая­ся в се­бе по­сле­до­ва­тель­ность), по­сле­до­ва­тель­ность {x_n}_n⩾1, удов­ле­тво­ряю­щая ус­ло­вию Ко­ши: для лю­бо­го ε>0 су­ще­ст­ву­ет та­кое N, что для всех n>N, m>N вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ст­во |x_n-x_m|<ε. Здесь эле­мен­ты по­сле­до­ва­тель­но­сти {x_n}_n⩾1 – дей­ст­ви­тель­ные или ком­плекс­ные чис­ла ли­бо точ­ки мет­рич. про­стран­ст­ва, |x_n-x_m| – рас­стоя­ние ме­ж­ду точ­ка­ми x_n и x_m.

Вся­кая схо­дя­щая­ся по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся Ф. п. Про­стран­ст­во, в ко­то­ром вер­но об­рат­ное ут­вер­жде­ние (вся­кая Ф. п. име­ет пре­дел), на­зы­ва­ет­ся пол­ным. Напр., евк­ли­до­во про­стран­ст­во яв­ля­ет­ся пол­ным. Мно­же­ст­во ра­цио­наль­ных чи­сел не об­ла­да­ет свой­ст­вом пол­но­ты. Напр., по­сле­до­ва­тель­ность {r_n}_n⩾1 де­ся­тич­ных при­бли­же­ний чис­ла $\sqrt{2}$ яв­ля­ет­ся Ф. п., но не име­ет пре­де­ла в мно­же­ст­ве ра­цио­наль­ных чи­сел.

В оп­ре­де­ле­нии Ф. п. {x_n}_n⩾1 эле­мен­тов нор­ми­ро­ван­но­го про­стран­ст­ва вме­сто |x_n-x_m| упот­реб­ля­ет­ся ||x_n-x_m||, где ||·|| оз­на­ча­ет нор­му в этом про­стран­ст­ве. Пол­ное нор­ми­ро­ван­ное про­стран­ст­во на­зы­ва­ет­ся ба­на­хо­вым про­стран­ст­вом. Лю­бое нор­ми­ро­ван­ное про­стран­ст­во мо­ж­но по­пол­нить до ба­на­хо­ва.