ЦЕ́ЛАЯ ФУ́НКЦИЯ

ЦЕ́ЛАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция ком­плекс­ного пе­ре­мен­но­го $z$, пред­ста­ви­мая сте­пен­ным ря­дом, схо­дя­щим­ся во всей ко­неч­ной ком­плекс­ной плос­ко­сти; ина­че го­во­ря, ана­ли­ти­че­ская функ­ция ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $z$, не имею­щая ко­неч­ных осо­бых то­чек. Бес­ко­неч­но уда­лён­ная точ­ка $z=∞$ – изо­ли­ро­ван­ная осо­бая точ­ка Ц. ф. $f(z)$. Ес­ли $z=∞$ – уст­ра­ни­мая осо­бая точ­ка, то $f(z)$ яв­ля­ет­ся по­сто­ян­ной. Ес­ли $z=∞$ – по­люс для Ц. ф. $f(z)$, то $f(z)$ – мно­го­член. Ес­ли $z=∞$ – су­ще­ст­вен­но осо­бая точ­ка Ц. ф. $f(z)$, то $f(z)$ есть транс­цен­дент­ная Ц. ф., та­ко­вы, напр., $\sin z$, $\cos z$, $e^z$.

Для то­го что­бы $f(z)$ бы­ла Ц. ф., не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы для не­ко­то­рой точ­ки $z_0$ вы­пол­ня­лось со­от­но­ше­ние$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\frac{|f^{(n)}(z_0)|}{n!}}=0.$$ При этом $f(z)$ раз­ла­га­ет­ся в ряд Тей­ло­ра$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z-z_0)}{n!}(z-z_0)^n,$$ко­то­рый схо­дит­ся при лю­бом $z$. Ц. ф. мож­но пред­ста­вить в ви­де бес­ко­неч­но­го про­из­ве­де­ния, со­от­вет­ст­вую­ще­го её ну­лям.

Ос­но­вой клас­си­фи­ка­ции транс­цен­дент­ных Ц. ф. слу­жит ско­рость рос­та мак­си­му­ма мо­ду­ля $$M(r)=max_{∣z∣=r}∣f(z)∣$$Ц. ф. $f(z)$ на ок­руж­но­сти $∣z∣=r$ при $r→∞$. Ве­ли­чи­на$$ρ=\lim_{r→∞}\frac{\ln \ln M(r)}{\ln r}$$на­зы­ва­ет­ся по­ряд­ком Ц. ф. $f(z)$. Важ­ней­шим во­про­сом в тео­рии Ц. ф. яв­ля­ет­ся ус­та­нов­ле­ние свя­зей ме­ж­ду ха­рак­те­ром рос­та Ц. ф. и рас­пре­де­ле­ни­ем её ну­лей.