СТЕ́ПЕНЬ

СТЕ́ПЕНЬ чис­ла, про­из­ве­де­ние $n$ со­мно­жи­те­лей, рав­ных это­му чис­лу, обо­зна­ча­ет­ся $$a^n=a·a·...·a.$$ Здесь пред­по­ла­га­ет­ся, что чис­ло $n$, на­зы­вае­мое по­ка­за­те­лем сте­пе­ни, – на­ту­раль­ное чис­ло, чис­ло $a$ на­зы­ва­ет­ся ос­но­ва­ни­ем С. Чис­ло $a^2$ на­зы­ва­ет­ся квад­ра­том, а $a^3$ – ку­бом чис­ла $a$ ($a^2$ – пло­щадь квад­ра­та, а $a^3$ – объ­ём ку­ба со сто­ро­ной $a$). Ос­нов­ные дей­ст­вия над С. да­ют­ся фор­му­ла­ми $$a^na^m=a^{n+m},\\ a^n:a^m=a^{n–m},\\ (a^n)^m=a^{nm}.$$

По­ня­тие «С.» до­пус­ка­ет обоб­ще­ния: по оп­ре­де­ле­нию, ну­ле­вая С. $a^0=1$, ес­ли $a≠0$, от­ри­ца­тель­ная С. $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, ес­ли $a≠0$, дроб­ная С. $a^{n/m}=\sqrt[n]{a^m}$, где  $\sqrt[n]{}$– ко­рень сте­пе­ни $n$, здесь $m$ и $n$ – на­ту­раль­ные числа, и С. с ир­ра­цио­наль­ным показа­те­лем $a^{λ}=\lim_{r_n\rightarrow λ} a^{r_n}$, где $r_n$ – произволь­ная по­сле­до­ва­тель­ность ра­цио­наль­ных чи­сел, стре­мя­щая­ся к $$. В тео­рии ана­ли­тич. функ­ций рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же С. с ком­плекс­ны­ми ос­но­ва­ния­ми и по­ка­за­те­ля­ми. Все ука­зан­ные вы­ше пра­ви­ла дей­ст­вий спра­вед­ли­вы и для обоб­ще­ний по­ня­тия «сте­пень».