СТЕПЕННА́Я ФУ́НКЦИЯ

СТЕПЕННА́Я ФУ́НКЦИЯ, функ­ция $y=x^a$, где $a$ – по­сто­ян­ное чис­ло.

При $x > 0$ С. ф. оп­ре­де­ле­на и по­ло­жи­тель­на для лю­бо­го дей­ст­ви­тель­но­го $a$. При $x ⩽ 0$ С. ф. $x^a$ оп­ре­де­ле­на в сле­дую­щих слу­ча­ях:

при $x=0$ С. ф. $x^a$ оп­ре­де­ле­на и рав­на ну­лю, ес­ли $a > 0$, и не оп­ре­де­ле­на, ес­ли $a < 0$;

С. ф. $x^0≡1$ при $x≠0$ ($0^0$оп­ре­де­лён­но­го смыс­ла не име­ет);

ес­ли $n$ – на­ту­раль­ное чис­ло, то С. ф. $x^n$ оп­ре­де­ле­на при всех $x$, а С. ф. $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ оп­ре­де­ле­на при $x≠0$;

С. ф. $x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$, где $n$ – не­чёт­ное на­ту­раль­ное чис­ло, оп­ре­де­ле­на и от­ри­ца­тель­на при $x < 0$.

Про­из­вод­ная С. ф. $$(x^a)'=ax^{a–1},$$оп­ре­де­лён­ные ин­те­гра­лы $$\int x^a dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$$ при $a≠–1$, $$\int\frac{1}{x}dx=\ln |x| + C.$$

Для ком­плекс­ных $z$ и $a$ С. ф. $z^a$ оп­ре­де­ля­ет­ся фор­му­лой $$z^a=e^{a(\ln ∣z∣+i \text{arg}\,z+2πki)},$$ где $i$ – мни­мая еди­ни­ца, $\text{arg}\,z$ – глав­ное зна­че­ние ар­гу­мен­та ком­плекс­но­го чис­ла $z$, $–π < \text{arg}\,z ⩽ π$, $k=0,±1,±2,...$. С. ф. $z^a$ од­но­знач­на толь­ко при це­лых зна­че­ни­ях $a$. Ес­ли $a=m/n$ – не­со­кра­ти­мая дробь, то С. ф. $z^a$ яв­ля­ет­ся $n$-знач­ной. В ос­таль­ных слу­ча­ях С. ф. $z^a$ бес­ко­неч­но­знач­на. Ес­ли $a$ – дей­ст­ви­тель­ное чис­ло, то все зна­че­ния С. ф. $z^a$ на­хо­дят­ся по фор­му­ле $$z^a=∣z∣^ae^{ia(\text{arg}\,z+2πk)},\,k=0,±1,±2,... .$$