СИНГУЛЯ́РНОЕ ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ УРАВНЕ́НИЕ

СИНГУЛЯ́РНОЕ ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ УРАВ­НЕ́НИЕ, ин­те­граль­ное урав­не­ние с яд­ром, об­ра­щаю­щим­ся в бес­ко­неч­ность в об­лас­ти ин­тег­ри­ро­ва­ния так, что со­от­вет­ст­вую­щий не­соб­ст­вен­ный ин­те­грал, со­дер­жа­щий не­из­вест­ную функ­цию, рас­хо­дит­ся и за­ме­ня­ет­ся сво­им глав­ным зна­че­ни­ем. При­ме­ром С. и. у. мо­жет слу­жить сле­дую­щее урав­не­ние с т. н. ядром Гиль­бер­та: $$a\phi(s)+\frac{b}{2\pi}\int_0^{2\pi}\phi(t)\mathrm{ctg}\frac{t-s}{2}dt=f(s),$$ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся функ­ция$$\phi(s)=\frac{a}{a^2+b^2}f(s)-\\-\frac{b}{2\pi(a^2+b^2)}\int_0^{2\pi}f(t)\mathrm{ctg}\frac{t-s}{2}dt+\\+\frac{b^2}{2\pi a(a^2+b^2)}\int_0^{2\pi}f(t)dt,\\a\neq0,\,a^2+b^2\neq0,$$где пер­вый ин­те­грал так­же по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле глав­но­го зна­че­ния.

К С. и. у. при­во­дят мн. за­да­чи тео­рии ана­ли­тич. функ­ций, тео­рии уп­ру­гости, гид­ро­ди­на­ми­ки. С. и. у. впер­вые (нач. 20 в.) встре­ти­лись в ис­сле­до­ва­ни­ях А. Пу­ан­ка­ре (по тео­рии при­ли­вов) и Д. Гиль­бер­та (по крае­вым за­да­чам).