РЕШЁТЧАТОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ

РЕШЁТЧАТОЕ РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, обоб­ще­ние по­ня­тия рас­пре­де­ле­ния це­ло­чис­лен­ной слу­чай­ной ве­ли­чи­ны. Го­во­рят, что не­вы­ро­ж­ден­ное рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей яв­ля­ет­ся ре­шёт­ча­тым, ес­ли оно со­сре­до­то­че­но на не­ко­то­рой ариф­ме­тич. про­грес­сии $D_{a,h}=\{a+kh:\,k=0, ±1, ±2, ...\}$, где $a$ – дей­ст­ви­тель­ное, а $h$ – по­ло­жи­тель­ное чис­ло (вы­ро­ж­ден­ны­ми на­зы­ва­ют­ся рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ных ве­ли­чин, при­ни­маю­щих един­ствен­ное зна­че­ние). Это оз­на­ча­ет, что слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X$, имею­щая Р. р., мо­жет при­ни­мать толь­ко зна­че­ния $a+kh$, $k=0, ±1, ±2, ...$, с ве­ро­ят­но­стя­ми $p_k=\sf {P}\it \{X=a+kh\}⩾0$, $k=0, ±1, ±2, ...$. Не­ко­то­рые из этих ве­ро­ят­но­стей мо­гут быть ну­ле­вы­ми, сум­ма по­ло­жи­тель­ных ве­ро­ят­но­стей рав­на еди­ни­це. Ариф­ме­тич. про­грес­сии на дей­ст­ви­тель­ной оси ино­гда на­зы­ва­ют­ся ре­шёт­ка­ми, от­сю­да на­зва­ние Р. р. Чис­ло $h$ на­зы­ва­ет­ся ша­гом ре­шёт­ки $D_{a,h}$. Т. к. для лю­бо­го на­тураль­но­го $m$ спра­вед­ли­во вклю­че­ние $D_{a,h}⊂D_{a,h/m}$, то ре­шёт­ки с ми­ним. ша­гом, на ко­то­рой со­сре­до­то­че­но Р. р., не су­ще­ст­ву­ет, од­на­ко су­ще­ст­ву­ет и един­ст­вен­ная ре­шёт­ка с макс. ша­гом, шаг этой ре­шёт­ки на­зы­ва­ет­ся ша­гом Р. р. В слу­чае $a=0$, $h=1$ слу­чай­ная ве­ли­чи­на $X$ яв­ля­ет­ся це­ло­чис­лен­ной.

Ха­рак­те­ри­стич. функ­ция Р. р. с ша­гом $h$ есть$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} p_ke^{it(a+kh)}=e^{ita}\sum_{k=-\infty}^{\infty} p_ke^{itkh}$$от­ку­да сле­ду­ет, что функ­ция $|f(t)|$ яв­ля­ет­ся пе­рио­ди­че­ской с ми­ним. пе­рио­дом $2π/h$. Так как для лю­бой ха­рак­те­ри­стич. функ­ции $f(0)=1$, то для Р. р. с ша­гом $h$ спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва $|f(2πk/h)|=1$, $k=0, ± 1, ± 2, ...$. Свой­ст­во $|f(t)|=1$ для не­ко­то­ро­го $t≠0$ яв­ля­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­че­ским: та­ко­вы ха­рак­те­ри­стич. функ­ции Р. р. и толь­ко они. Фор­му­ла об­ра­ще­ния для Р. р. име­ет вид $$p_k=\frac{h}{2π}\int_{-π/h}^{π/h} e^{-it(a+kh)} f(t)dt,\\ k=0,±1,±2, ... .$$

Для слу­чай­ных ве­ли­чин, имею­щих Р. р., спра­вед­ли­ва ло­каль­ная фор­ма цен­траль­ной пре­дель­ной тео­ре­мы, ко­то­рая про­ще все­го фор­му­ли­ру­ет­ся для не­за­ви­си­мых оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных слу­чай­ных ве­ли­чин $X_1$,$X_2$,... с ну­ле­вым сред­ним и еди­нич­ной дис­пер­си­ей (два по­след­них ус­ло­вия не ог­ра­ни­чи­ва­ют об­щ­но­сти). Ес­ли об­щее рас­пре­де­ле­ние этих слу­чай­ных ве­ли­чин яв­ля­ет­ся ре­шёт­ча­тым с ша­гом $h$, то$$\max\left| \frac{\sqrt{n}}{h}p_n (x) - φ(x)\right|→0\,\text{при}\,n→∞,$$ где$$p_n(x)=\sf {P}\it \left\{ \frac{X_1+...+X_n}{\sqrt{n}}=x\right\},$$ $φ(x)=e^{-x^2/2}/\sqrt{2π}$ – плот­ность стан­дарт­но­го нор­маль­но­го рас­пре­де­ле­ния, и мак­си­мум бе­рёт­ся по всем точ­кам ре­шёт­ки $\left\{ a_n+k\frac{h}{\sqrt{n}}:\, k=0,±1,±2,...\right\}$, $a_n=\sqrt{n}$, на ко­то­рой со­сре­до­то­че­но рас­пре­де­ле­ние нор­ми­ро­ван­ной сум­мы $(X_1+...+X_n)/\sqrt{n}$.