РА́О – КРАМЕ́РА НЕРА́ВЕНСТВО

РА́О – КРАМЕ́РА НЕРА́ВЕНСТВО (не­ра­вен­ст­во Фре­ше, не­ра­вен­ст­во ин­фор­ма­ции), не­ра­вен­ст­во в ма­те­ма­тич. ста­ти­сти­ке, ус­та­нав­ли­ваю­щее ниж­нюю гра­ни­цу сред­не­квад­ра­тич. по­греш­но­стей ста­ти­стич. оце­нок па­ра­мет­ров. Пусть по вы­бор­ке $X_1, ..., X_n$ с плот­но­стью рас­пре­де­ле­ния $p(x, θ)$ тре­бу­ет­ся оце­нить не­из­вест­ный па­ра­метр $θ$. Пусть $T(X_1, ..., X_n)$ – оцен­ка это­го па­ра­мет­ра та­кая, что $\sf P_θ\it T=θ+b(θ)$, где $b$ – диф­фе­рен­ци­руе­мая функ­ция, на­зы­вае­мая сме­ще­ни­ем оцен­ки $T$. То­гда при оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях ре­гу­ляр­но­сти, на­ло­жен­ных на се­мей­ст­во $p(x, θ)$, спра­вед­ли­во не­ра­вен­ст­во$$\mathsf{E}\rm\it_θ(T-θ)^2⩾(1+b(θ))^2/(nI(θ))+b^2(θ).$$Здесь $I(θ)=\sf E_θ\it (∂\ln p(X_1,q)/∂q)^2$ – ин­фор­ма­ци­он­ное ко­ли­че­ст­во Фи­ше­ра, ко­то­рое пред­по­ла­га­ет­ся по­ло­жи­тель­ным и ко­неч­ным. В ча­ст­но­сти, ес­ли $T$ яв­ля­ет­ся не­сме­щён­ной оцен­кой $θ$, т. е. $\sf E_θ\it T=θ$, то след­ст­ви­ем это­го не­ра­вен­ст­ва яв­ля­ет­ся ниж­няя оцен­ка дис­пер­сии $$\sf D\it T⩾1/(nI(θ)).$$ Ес­ли в этом не­ра­вен­ст­ве для ка­кой-то не­сме­щён­ной оцен­ки $T$ дос­ти­га­ет­ся ра­вен­ст­во, то она в оп­ре­де­лён­ном смыс­ле яв­ля­ет­ся наи­луч­шей и на­зы­ва­ет­ся эф­фек­тив­ной оцен­кой. Р. – К. н. по­лу­че­но не­за­ви­си­мо Х. Кра­ме­ром (1946), инд. ма­те­ма­ти­ком К. Р. Рао (1945) и М. Фре­ше (1943).