ПРОЕКТИ́ВНАЯ ПЛО́СКОСТЬ

ПРОЕКТИ́ВНАЯ ПЛО́СКОСТЬ, евк­ли­до­ва плос­кость, до­пол­нен­ная бес­ко­неч­но уда­лён­ны­ми (не­соб­ст­вен­ны­ми) точ­ка­ми и пря­мой. При этом ка­ж­дая пря­мая до­пол­ня­ет­ся од­ной не­соб­ст­вен­ной точ­кой – по­лу­ча­ет­ся про­ек­тив­ная пря­мая (па­рал­лель­ные пря­мые до­пол­ня­ют­ся об­щей не­соб­ст­вен­ной точ­кой, не­па­рал­лель­ные пря­мые – раз­ны­ми). Все не­соб­ст­вен­ные точ­ки всех про­ек­тив­ных пря­мых П. п. при­над­ле­жат не­соб­ст­вен­ной пря­мой. По­сле до­пол­не­ния евк­ли­до­вой плос­ко­сти не­соб­ст­вен­ны­ми эле­мен­та­ми ста­но­вит­ся вер­ным ут­вер­жде­ние: лю­бые две пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся.

П. п. мож­но оп­ре­де­лить ана­ли­ти­че­ски как со­во­куп­ность клас­сов про­пор­цио­наль­ных ме­ж­ду со­бой троек дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, не рав­ных од­но­вре­мен­но ну­лю. При этом клас­сы ин­тер­пре­ти­ру­ют­ся ли­бо как точ­ки П. п. (и то­гда чис­ла $x_1$,$x_2$,$x_3$ на­зы­ва­ют­ся од­но­род­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми то­чек), ли­бо как пря­мые П. п. (и чис­ла $u_1$,$u_2$,$u_3$ на­зы­ва­ют­ся од­но­род­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми пря­мых). От­но­ше­ние ин­ци­дент­но­сти точ­ки и пря­мой выра­жа­ет­ся ра­вен­ст­вом $\sum^3_{i=1} u_ix_i=0$.

В бо­лее об­щем смыс­ле П. п. – со­во­куп­ность двух мно­жеств эле­мен­тов, на­зы­вае­мых со­от­вет­ст­вен­но точ­ка­ми и пря­мы­ми, для ко­то­рых оп­ре­де­ле­ны от­но­ше­ния ин­ци­дент­но­сти и по­ряд­ка так, что со­блю­да­ют­ся тре­бо­ва­ния ак­си­ом про­ек­тив­ной гео­мет­рии.