ПОГО́НИ ЛИ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ПОГО́НИ ЛИ́НИЯ, кривая, являющаяся решением задачи о погоне, которая ставится следующим образом. По прямой Ox с постоянной скоростью a>0 движется точка P; в плоскости Oxy движется точка M(x,y) с постоянной по модулю скоростью так, что вектор скорости точки M всегда направлен в точку P; траектория точки M называется линией погони (рис.). Дифференциальное уравнение П. л. имеет вид y″где v – модуль скорости точки M. Решение этого уравнения даёт следующую связь между координатами точек П. л. x=\frac{y_0}{2(1+a/v)}\left[ \left( \frac{y}{y_0} \right)^{1+a/v} - 1\right] - \frac{y_0}{2(1-a/v)}\left[ \left( \frac{y}{y_0} \right)^{1-a/v} - 1\right]+x_0 при v≠a и x=\frac{y_0}{4}\left[ \left( \frac{y}{y_0} \right)^2 - 1 \right] - \frac{y_0}{2}\ln \frac{y}{y_0}+x_0 при v=a, где x_0,y_0 – координаты точки M в начальный момент времени, а точка P имеет в этот момент координаты x_0,0. Если v\gt a, то y убывает от y_0 до 0, когда x возрастает от x_0 до x_1=x_0+y_0 \frac{av}{v^2-a^2}, т. е. точка M догоняет точку P при x=x_1. В этом случае длина П. л. равна y_0v^2/(v^2-a^2) и точка M догоняет точку P за время T=y_0v/(v^2-a^2) (продолжительность погони). При v\leqslant a точка M не догоняет точку P. Известно обобщение задачи о погоне на случай, когда точка P движется по кривой линии.
Задача о П. л. была поставлена Леонардо да Винчи, решена П. Бугером (1732).