ПОГО́НИ ЛИ́НИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ПОГО́НИ ЛИ́НИЯ, кривая, являющаяся решением задачи о погоне, которая ставится следующим образом. По прямой Ox с постоянной скоростью a>0 движется точка P; в плоскости Oxy движется точка M(x,y) с постоянной по модулю скоростью так, что вектор скорости точки M всегда направлен в точку P; траектория точки M называется линией погони (рис.). Дифференциальное уравнение П. л. имеет вид y″=avy′2y√1+y′2,где v – модуль скорости точки M. Решение этого уравнения даёт следующую связь между координатами точек П. л. x=y02(1+a/v)[(yy0)1+a/v−1]−y02(1−a/v)[(yy0)1−a/v−1]+x0 при v≠a и x=y04[(yy0)2−1]−y02lnyy0+x0 при v=a, где x0,y0 – координаты точки M в начальный момент времени, а точка P имеет в этот момент координаты x0,0. Если v>a, то y убывает от y0 до 0, когда x возрастает от x0 до x1=x0+y0avv2−a2, т. е. точка M догоняет точку P при x=x1. В этом случае длина П. л. равна y0v2/(v2−a2) и точка M догоняет точку P за время T=y0v/(v2−a2) (продолжительность погони). При v⩽a точка M не догоняет точку P. Известно обобщение задачи о погоне на случай, когда точка P движется по кривой линии.
Задача о П. л. была поставлена Леонардо да Винчи, решена П. Бугером (1732).