Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ПОГО́НИ ЛИ́НИЯ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 26. Москва, 2014, стр. 510

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

ПОГО́НИ ЛИ́НИЯ, кри­вая, яв­ляю­щая­ся ре­ше­ни­ем за­да­чи о по­го­не, ко­то­рая ста­вит­ся сле­дую­щим об­ра­зом. По пря­мой Ox с по­сто­ян­ной ско­ро­стью a>0 дви­жет­ся точ­ка P; в плос­ко­сти Oxy дви­жет­ся точ­ка M(x,y) с по­сто­ян­ной по мо­ду­лю ско­ро­стью так, что век­тор ско­ро­сти точ­ки M все­гда на­прав­лен в точ­ку P; тра­ек­то­рия точ­ки M на­зы­ва­ет­ся ли­ни­ей по­го­ни (рис.). Диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние П. л. име­ет вид yгде v – мо­дуль ско­ро­сти точ­ки M. Ре­шение это­го урав­не­ния да­ёт сле­дую­щую связь ме­ж­ду ко­ор­ди­на­та­ми то­чек П. л. x=\frac{y_0}{2(1+a/v)}\left[ \left( \frac{y}{y_0} \right)^{1+a/v} - 1\right] - \frac{y_0}{2(1-a/v)}\left[ \left( \frac{y}{y_0} \right)^{1-a/v} - 1\right]+x_0 при v≠a и x=\frac{y_0}{4}\left[ \left( \frac{y}{y_0} \right)^2 - 1 \right] - \frac{y_0}{2}\ln \frac{y}{y_0}+x_0 при v=a, где x_0,y_0 – ко­ор­ди­на­ты точ­ки  M в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни, а точ­ка P име­ет в этот мо­мент ко­ор­ди­на­ты x_0,0. Ес­ли v\gt a, то y убы­ва­ет от y_0 до 0, ко­гда x воз­рас­та­ет от x_0 до x_1=x_0+y_0 \frac{av}{v^2-a^2}, т. е. точ­ка M до­го­ня­ет точ­ку P при x=x_1. В этом слу­чае дли­на П. л. рав­на y_0v^2/(v^2-a^2) и точ­ка M до­го­ня­ет точ­ку P за вре­мя T=y_0v/(v^2-a^2) (про­дол­жи­тель­ность по­го­ни). При v\leqslant a точ­ка M не до­го­ня­ет точку P. Из­вест­но обоб­ще­ние за­да­чи о по­го­не на слу­чай, ко­гда точ­ка P дви­жет­ся по кри­вой ли­нии.

За­да­ча о П. л. бы­ла по­став­ле­на Ле­о­нар­до да Вин­чи

 >>
, ре­ше­на П. Бу­ге­ром
 >>
(1732).

Лит.: Са­ве­лов АА. Пло­ские кри­вые. 3-е изд. М., 2009.

Вернуться к началу