ЛАТИ́НСКИЙ КВАДРА́Т

ЛАТИ́НСКИЙ КВАДРА́Т, квад­рат­ная мат­ри­ца по­ряд­ка $n$, ка­ж­дая стро­ка и ка­ж­дый стол­бец ко­то­рой яв­ля­ют­ся пе­ре­ста­нов­ка­ми эле­мен­тов ко­неч­но­го мно­же­ст­ва $S$, со­стоя­ще­го из $n$ эле­мен­тов, т. е. ка­ж­дый эле­мент мно­же­ст­ва $S$ встре­ча­ет­ся в ка­ж­дой стро­ке и в ка­ж­дом столб­це ров­но по од­но­му ра­зу; при этом го­во­рят, что Л. к. по­стро­ен на мно­же­ст­ве $S$, а чис­ло $n$ на­зы­ва­ют по­ряд­ком ла­тин­ско­го квад­ра­та.

Л. к. су­ще­ст­ву­ют для лю­бо­го $n$; напр., $A=\left \| a_{ij} \right \|,\; где \;a_{ij}=i+j-1(\text{mod}n),\; i, j=1,...,n,$ есть Л. к.; в ча­ст­но­сти, при $n=3$ эти чис­ла $a_{ij}$ об­ра­зу­ют Л. к. $$\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}$$ 3-го по­ряд­ка на мно­же­ст­ве $S=\left \{1,2,3 \right \}$.

Для чис­ла $L_n$ Л. к. по­ряд­ка $n$ вер­на оцен­ка сни­зу $L_n⩾n!(n-1)!...\:2!\:1!$. Два Л. к., по­стро­ен­ные на од­ном и том же мно­же­ст­ве $S$, на­зы­ва­ют­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми, ес­ли один из дру­го­го по­лу­ча­ет­ся пе­ре­ста­нов­кой строк, столб­цов и пе­ре­име­но­ва­ни­ем эле­мен­тов. Два Л. к. $A=\left \| a_{ij} \right \|$ и $B=\left \| b_{ij} \right \|$ по­ряд­ка $n$ на­зы­ва­ют­ся ор­то­го­наль­ны­ми, ес­ли па­ры $a_{ij},\: b_{ij}$ и $a_{kl},\: b_{kl}$ не сов­па­да­ют при разл. па­рах $i,\: j$ и $k,\: l$, где $i,\: j,\: k,\: l∈S=\left \{1,...,n \right \}$. Для всех $n>2, \:n\neq6$, су­ще­ст­ву­ют па­ры ор­то­го­наль­ных Л. к., а для $n=6$ с по­мо­щью пе­ре­бо­ра до­ка­за­но, что та­ких пар нет. Неск. Л. к. од­но­го по­ряд­ка на­зы­ва­ют­ся по­пар­но ор­то­го­наль­ны­ми, ес­ли лю­бые два из них ор­то­го­наль­ны. Для мак­си­маль­но воз­мож­но­го чис­ла $N(n)$ по­пар­но ор­то­го­наль­ных Л. к. спра­вед­ли­ва верх­няя оцен­ка $N(n)⩽n-1$ и из­вест­ны не­ко­то­рые ниж­ние оцен­ки для $N(n)$; до­ка­за­но, что $N(n)→∞$ при $n→∞$.

Мно­же­ст­во из $n-1$ по­пар­но ор­то­го­наль­ных Л. к. по­ряд­ка $n$ на­зы­ва­ет­ся пол­ным. Пол­ные мно­же­ст­ва по­пар­но ор­того­наль­ных Л. к. на­хо­дят при­ме­не­ние в пла­ни­ро­ва­нии экс­пе­ри­мен­та. Пред­ло­же­но мно­го ме­то­дов по­строе­ния ор­то­го­наль­ных Л. к. Все они соз­да­ны с це­лью по­лу­че­ния как мож­но боль­ше­го мно­же­ст­ва по­пар­но ор­то­го­наль­ных Л. к. по­ряд­ка $n$. При­ло­же­ния ор­то­го­наль­ных Л. к. в ста­ти­сти­ке, тео­рии ин­фор­ма­ции и пла­ни­ро­ва­нии экс­пе­ри­мен­та тре­бу­ют по­строе­ния ор­то­го­наль­ных Л. к. спец. ви­да.

Тер­мин «Л. к.» вве­дён Л. Эй­ле­ром