ОКРЕ́СТНОСТЬ

ОКРЕ́СТНОСТЬ точ­ки $x$ в то­по­ло­ги­че­ском про­стран­ст­ве $X$, мно­же­ст­во $U \subset X$, для ко­то­ро­го $x$ – внут­рен­няя точ­ка. Дру­ги­ми сло­ва­ми, О. – мно­же­ст­во, ко­то­рое со­дер­жит от­кры­тое мно­же­ст­во, со­дер­жа­щее $x$ (О. мо­гут быть замк­ну­ты­ми, ком­пакт­ны­ми и т. д.); ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся О. мно­же­ст­ва. Напр., О. точ­ки на пря­мой – лю­бой ин­тер­вал, со­дер­жа­щий эту точ­ку.

Сим­мет­рич­ный ин­тер­вал ($a-\varepsilon$ , $a+\varepsilon$), где $\varepsilon \gt 0$, или, что то же са­мое, мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $x$, удов­ле­тво­ряю­щих ус­ло­вию $|x-a| \lt \varepsilon$, на­зы­ва­ет­ся $\varepsilon$-ок­ре­ст­но­стью точ­ки $a$. О. «точ­ки плюс бес­ко­неч­ность» – ин­тер­вал ($M$, $+ \infty$), где $M \gt 0$ про­из­воль­но, или, что то же са­мое, мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных $x$, удов­ле­тво­ряю­щих не­ра­вен­ст­ву $x \gt M$. О. «точ­ки ми­нус бес­ко­неч­ность» – ин­тер­вал ($-\infty$, $M$), где $M \lt 0$ про­из­воль­но, или, что то же са­мое, мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел $x$, удов­ле­тво­ряю­щих не­ра­вен­ст­ву $x \lt M$. На плос­ко­сти $\varepsilon$-ок­ре­ст­ность точ­ки $a$ есть внут­рен­ность кру­га (от­кры­тый круг) с цен­тром в точ­ке $a$ и ра­диу­сом, рав­ным $\varepsilon$. О. бес­ко­неч­но уда­лён­ной точ­ки есть внеш­ность лю­бо­го кру­га, со­дер­жа­ще­го на­ча­ло ко­ор­ди­нат. В мет­ри­че­ском про­стран­ст­ве ($X$, $d$) $\varepsilon$-ок­ре­ст­ность, $\varepsilon \gt 0$, точ­ки (эле­мен­та) $a$ есть мно­же­ст­во всех $x \in X$, для ко­то­рых рас­стоя­ние до точ­ки $a$ мень­ше $\varepsilon$, т. е. $d(x,a) \lt \varepsilon$.