ОБРА́ТНЫЕ ГИПЕРБОЛИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ

ОБРА́ТНЫЕ ГИПЕРБОЛИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НК­ЦИИ (ареа­функ­ции), функ­ции, об­рат­ные ги­пер­бо­ли­че­ским функ­ци­ям: ареа­си­нус ги­пер­бо­ли­че­ский, ареа­ко­си­нус ги­пер­бо­ли­че­ский, ареа­тан­генс ги­пер­бо­ли­че­ский, ареа­ко­тан­генс ги­пер­бо­ли­че­ский, обо­зна­ча­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но: $\textrm{Arsh}\,x, \textrm{Arch}\,x, \textrm{Arth}\,x, \textrm{Arcth}\,x.$ Эти на­зва­ния про­ис­ходят от лат. area – пло­щадь (ги­пер­бо­лич. функ­ции мо­гут рас­смат­ри­вать­ся как функ­ции пло­ща­ди ги­пер­бо­лич. сек­то­ра). Дру­гие обо­зна­че­ния: $\textrm{arsh}\,x, \textrm{sh}^{–1}x; \textrm{arch}\,x, \textrm{ch}^{–1}x; \textrm{arth}\,x, \textrm{th}^{–1}x; \textrm{arcth}\,x, \textrm{cth}^{–1}x.$ Впер­вые О. г. ф. изу­чал франц. ма­те­ма­тик Г. Ж. Уэль (1878).

Об­рат­ные ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го $x $вы­чис­ля­ют­ся по фор­му­лам:$$\textrm{Arsh}\,x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}, \quad -\infty \lt x \lt \infty,\\ \textrm{Arch}\,x=\pm \ln(x+\sqrt{x^2-1}, \quad x \geqslant 1,\\ \textrm{Arth}\,x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}, \quad |x| \lt 1,\\ \textrm{Arcth}\,x=\frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}, \quad |x| \gt 1.$$ 

О. г. ф. од­но­знач­ны и не­пре­рыв­ны в ка­ж­дой точ­ке сво­ей об­лас­ти оп­ре­де­ле­ния, за ис­клю­че­ни­ем функ­ции $\textrm{Arch}\,x$, ко­то­рая дву­знач­на. При изу­че­нии свойств О. г. ф. для $\textrm{Arch}\,x$ вы­би­ра­ет­ся од­на из её не­пре­рыв­ных вет­вей, т. е. в фор­му­ле для $\textrm{Arch}\,x$ вы­би­ра­ет­ся толь­ко один знак: плюс или ми­нус. Свой­ст­ва О. г. ф. вы­те­ка­ют из свойств ги­пер­бо­лич. функ­ций или не­по­сред­ст­вен­но из фор­мул для О. г. ф., т. е. из свойств ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции. Гра­фи­ки О. г. ф. по­лу­ча­ют­ся из гра­фи­ков ги­пер­бо­лич. функ­ций зер­каль­ным от­ра­же­ни­ем от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы пер­во­го и третье­го ко­ор­ди­нат­ных уг­лов.

Про­из­вод­ные О. г. ф. на­хо­дят­ся по фор­му­лам$$(\textrm{Arsh}\,x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},\\ (\textrm{Arch}\,x)'=\pm\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},\\ (\textrm{Arth}\,x)'=\frac{1}{1-x^2},\\ (\textrm{Arcth}\,x)'=-\frac{1}{x^2-1}.$$

О. г. ф. свя­за­ны ме­ж­ду со­бой ря­дом со­от­но­ше­ний. Напр.,$$\textrm{Arsh}\,x=\textrm{Arth}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},\\ \textrm{Arth}\,x=\textrm{Arth}\frac{1}{x}=\textrm{Arsh}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Об­рат­ные ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $z=x+iy$ оп­ре­де­ля­ют­ся по фор­му­лам:$$\textrm{Arsh}\,z=\textrm{Ln}(z+\sqrt{z^2+1},\\ \textrm{Arch}\,z=\textrm{Ln}(z+\sqrt{z^2-1},\\ \textrm{Arth}\,z=\frac{1}{2}\textrm{Ln}\frac{1+z}{1-z},\\ \textrm{Arcth}\,z=\frac{1}{2}\textrm{Ln}\frac{z+1}{z-1},$$где $Lnz$ – ло­га­риф­мич. функ­ция ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го. О. г. ф. ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го яв­ля­ют­ся ана­ли­тич. про­дол­же­ния­ми со­от­вет­ст­вую­щих функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го в ком­плекс­ную плос­кость.

О. г. ф. вы­ра­жа­ют­ся че­рез об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции по фор­му­лам: $$\textrm{Arsh}\,z=-i\,\arcsin \,iz,\\ \textrm{Arch}\,z=i \, \arccos \, z,\\ \textrm{Arth}\,z=-i \, \textrm{arccot} \, iz,\\ \textrm{Arcth}\,z=i \, \textrm{arccot} \, iz.$$