ГЕОМЕ́ТРИЯ ЧИ́СЕЛ

ГЕОМЕ́ТРИЯ ЧИ́СЕЛ (гео­мет­ри­че­ская тео­рия чи­сел), раз­дел тео­рии чи­сел, изу­чаю­щий тео­ре­ти­ко-чи­сло­вые про­бле­мы с при­ме­не­ни­ем гео­мет­рич. ме­то­дов. Г. ч. сфор­ми­ро­ва­лась по­сле вы­хо­да мо­но­графии Г. Мин­ков­ско­го (1896) как раз­дел ма­те­ма­ти­ки, на­хо­дя­щий­ся на сты­ке тео­рии чи­сел и гео­мет­рии. Ис­ход­ным пунк­том Г. ч. яви­лось то об­стоя­тель­ст­во, что не­ко­то­рые пред­ло­же­ния о свой­ст­вах фи­гур в $n$-мер­ном евк­ли­до­вом про­стран­ст­ве име­ют глу­бо­кие след­ст­вия в тео­рии чи­сел. Ти­пич­ной за­да­чей Г. ч. яв­ля­ет­ся за­да­ча об ариф­ме­тич. ми­ни­му­ме $m(F)$ дей­ст­ви­тель­ной функ­ции $F(x)$, $x=(x_1,…,x_n)$. При этом под $m(F)$ по­ни­ма­ет­ся точ­ная ниж­няя грань зна­че­ний функ­ции $F(x) $по всем це­лым точ­кам $x$ (т. е. точ­кам с це­ло­чис­лен­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми), удов­ле­тво­ряю­щим не­ко­то­ро­му до­пол­ни­тель­но­му ус­ло­вию (напр., ус­ло­вию $x≠0$). В важ­ней­ших ча­ст­ных слу­ча­ях эта за­да­ча ре­ша­ет­ся при по­мо­щи тео­ре­мы Мин­ков­ско­го о вы­пук­лом те­ле, ко­то­рая мо­жет быть сфор­му­ли­ро­ва­на сле­дую­щим об­ра­зом: пусть $F(x)$ – та­кая функ­ция, что $F(x)=F(-x)$ для всех $x$ и не­ра­вен­ст­во $F(x)<1$ за­да­ёт вы­пук­лое $n$-мер­ное те­ло объ­ё­ма $V_F$, то­гда $m(F)=2V^{-1/n}_F.$

По зна­че­нию $m(F)$ мож­но су­дить, напр., об ус­ло­ви­ях су­ще­ст­во­ва­ния ре­ше­ний дио­фан­то­ва не­ра­вен­ст­ва $|F(x)|⩽c$; к во­про­су су­ще­ст­во­ва­ния ре­ше­ний та­ко­го не­ра­вен­ст­ва сво­дят­ся мн. за­да­чи тео­рии чи­сел. Осо­бым раз­де­лом Г. ч. яв­ля­ет­ся гео­мет­рия квад­ра­тич­ных форм.