Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

ВЫ́ПУКЛОСТЬ И ВО́ГНУТОСТЬ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 6. Москва, 2006, стр. 126-127

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:




Авторы: С. А. Теляковский
Рис. 1.

ВЫ́ПУКЛОСТЬ И ВО́ГНУТОСТЬ функ­ции, свой­ст­во функ­ции $f(x)$, оп­ре­де­лён­ной на не­ко­то­ром про­ме­жут­ке, за­клю­чаю­щее­ся в том, что ка­ж­дая ду­га кри­вой, яв­ляю­щей­ся гра­фи­ком функ­ции $y=f(x)$, ле­жит не вы­ше или не ни­же сво­ей хор­ды. В слу­чае ко­гда ка­ж­дая ду­га кри­вой ле­жит не вы­ше сво­ей хор­ды, функ­цию $f $на­зы­ва­ют вы­пук­лой (рис. 1), а в слу­чае ко­гда ка­ж­дая ду­га кри­вой ле­жит не ниже сво­ей хор­ды, – во­гну­той (рис. 2) на со­от­вет­ст­вую­щем про­ме­жут­ке. Ис­поль­зу­ют и др. тер­ми­но­ло­гию, ко­гда вы­пук­лые функ­ции на­зы­ва­ют вы­пук­лы­ми вниз, а во­гну­тые функ­ции – вы­пук­лы­ми вверх.

Рис. 2.

Ес­ли функ­ция $f(x) $вы­пук­ла на от­рез­ке [$a, b$] или на ин­тер­ва­ле ($a, b$), то в ка­ж­дой точ­ке $x∈(a, b)$ она не­пре­рыв­на и име­ет од­но­сто­рон­ние про­из­вод­ные спра­ва и сле­ва. Ка­ж­дая из этих про­из­вод­ных яв­ля­ет­ся воз­рас­таю­щей функ­ци­ей. По­это­му вы­пук­лая функ­ция име­ет про­из­вод­ную на ин­тер­ва­ле ($a, b$) всю­ду, за ис­клю­че­ни­ем, мо­жет быть, ко­неч­но­го или счёт­но­го мно­же­ст­ва то­чек. Ес­ли на ин­тер­ва­ле ($a, b$) функ­ция $f(x)$ име­ет вто­рую про­из­вод­ную, то $f(x)$ выпук­ла то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда $f″(x)⩾0$. В ка­ж­дой точ­ке гра­фи­ка вы­пук­лой функ­ции мож­но про­вес­ти опор­ную пря­мую, т. е. та­кую пря­мую, что все точ­ки гра­фи­ка функ­ции ле­жат вы­ше или на са­мой пря­мой.

Во­гну­тость функ­ции $f(x)$ рав­но­силь­на вы­пук­ло­сти функ­ции –$f(x)$.

Рас­смат­ри­ва­ет­ся В. и в. функ­ций мно­гих пе­ре­мен­ных. Вы­пук­лость два­ж­ды диф­фе­рен­ци­руе­мой функ­ции в об­лас­ти рав­но­силь­на по­сто­ян­ст­ву зна­ка её вто­ро­го диф­фе­рен­циа­ла в этой об­лас­ти.

Лит.: Фих­тен­гольц Г. М. Курс диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. 8-е изд. М.; СПб., 2001; Иль­ин В. А., По­зняк Э. Г. Ос­но­вы ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за. 6-е изд. М., 2001. Т. 1.

Вернуться к началу