НЬЮ́ТОНА МЕ́ТОД
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
НЬЮ́ТОНА МЕ́ТОД (метод касательных), метод приближённого решения уравнения $$f(x)=0 \tag 1$$где $f$ – дифференцируемая функция. Последовательные приближения Н. м. вычисляются по формуле$$x^{k+1}=x^{(k)}-[f'(x^{(k)})]^{-1}f(x^{(k)}),$$ $$k=0, 1, 2, \ldots, \tag 2$$т. е. каждое следующее приближение $x^{(k+1)}$ является точкой пересечения касательной к $f(x)$ в точке $(x(k), f(x(k))$, связанной с предыдущим приближением, и оси абсцисс.
Если функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема, $x$* – простой корень уравнения (1) и начальное приближение $x^{(0)}$ лежит достаточно близко к $x$*, то Н. м. обладает квадратичной сходимостью, т. е.$$|x^{(k+1)}-x*|⩽c|x^{(k)}-x*|^2,$$где $с$ – постоянная, зависящая только от функции $f$ и начального приближения $x^{(0)}$.
Часто вместо (2) для решения уравнения (1) применяется т. н. модифицированный Н. м.:$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-[ff(x^{(0)})]^{-1}f(x^{(k)}).\tag 3$$
При тех же предположениях, при которых Н. м. имеет квадратичную сходимость, метод (3) имеет линейную сходимость, т. е. сходится со скоростью геометрич. прогрессии со знаменателем, меньшим единицы.
Применительно к решению нелинейного операторного уравнения $A(u)=0$ с оператором $A: B_1→B_2$, где $B_1 \quadи\quad B_2$ – некоторые банаховы пространства, обобщение (2) называется методом Ньютона – Канторовича. Формулы этого метода имеют вид$$u^{(k+1)}=u(^{k)}-[A′(u^{(k)})]^{-1}A(u^{(k)}),$$ $$k=0, 1, 2, ...,$$где $A′(u(^{k)})$ – производная Фреше оператора $A$ в точке $u^{(k)}$, являющаяся обратимым оператором, действующим из $B_1$ в $B_2$. При некоторых предположениях метод Ньютона – Канторовича обладает квадратичной сходимостью, а соответствующий модифицированный метод – линейной сходимостью.
Метод разработан И. Ньютоном (1669). Один из безусловной минимизации методов также называется методом Ньютона.