НЬЮ́ТОНА МЕ́ТОД

НЬЮ́ТОНА МЕ́ТОД (ме­тод ка­са­тель­ных), ме­тод при­бли­жён­но­го ре­ше­ния урав­не­ния $$f(x)=0 \tag 1$$ где $f$ – диф­фе­рен­ци­руе­мая функ­ция. По­сле­до­ва­тель­ные при­бли­же­ния Н. м. вы­чис­ля­ют­ся по фор­му­ле $$x^{k+1}=x^{(k)}-[f'(x^{(k)})]^{-1}f(x^{(k)}),$$ $$k=0, 1, 2, \ldots, \tag 2$$ т. е. ка­ж­дое сле­дую­щее при­бли­же­ние $x^{(k+1)}$ яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной к $f(x)$ в точ­ке $(x(k), f(x(k))$, свя­зан­ной с пре­ды­ду­щим при­бли­же­ни­ем, и оси абс­цисс.

Ес­ли функ­ция $f$ два­ж­ды не­пре­рыв­но диф­фе­рен­ци­руе­ма, $x$* – про­стой ко­рень урав­не­ния (1) и на­чаль­ное при­бли­же­ние $x^{(0)}$ ле­жит дос­та­точ­но близ­ко к $x$*, то Н. м. об­ла­да­ет квад­ра­тич­ной схо­ди­мо­стью, т. е. $$|x^{(k+1)}-x*|⩽c|x^{(k)}-x*|^2,$$ где $с$ – по­сто­ян­ная, за­ви­ся­щая толь­ко от функ­ции $f$ и на­чаль­но­го при­бли­же­ния $x^{(0)}$.

Час­то вме­сто (2) для ре­ше­ния урав­не­ния (1) при­ме­ня­ет­ся т. н. мо­ди­фи­ци­ро­ван­ный Н. м.: $$x^{(k+1)}=x^{(k)}-[ff(x^{(0)})]^{-1}f(x^{(k)}).\tag 3$$

При тех же пред­по­ло­же­ни­ях, при ко­торых Н. м. име­ет квад­ра­тич­ную схо­ди­мость, ме­тод (3) име­ет ли­ней­ную схо­ди­мость, т. е. схо­дит­ся со ско­ро­стью гео­мет­рич. про­грес­сии со зна­ме­на­те­лем, мень­шим еди­ни­цы.

При­ме­ни­тель­но к ре­ше­нию не­ли­ней­но­го опе­ра­тор­но­го урав­не­ния $A(u)=0$ с опе­ра­то­ром $A: B_1→B_2$, где $B_1 \quadи\quad B_2$ – не­ко­то­рые ба­на­хо­вы про­стран­ст­ва, обоб­ще­ние (2) на­зы­ва­ет­ся ме­то­дом Нью­то­на – Кан­то­ро­ви­ча. Фор­му­лы это­го ме­то­да име­ют вид $$u^{(k+1)}=u(^{k)}-[A′(u^{(k)})]^{-1}A(u^{(k)}),$$ $$k=0, 1, 2, ...,$$ где $A′(u(^{k)})$ – про­из­вод­ная Фре­ше опе­ра­то­ра $A$ в точ­ке $u^{(k)}$, яв­ляю­щая­ся об­ра­ти­мым опе­ра­то­ром, дей­ст­вую­щим из $B_1$ в $B_2$. При не­ко­то­рых пред­по­ло­же­ни­ях ме­тод Нью­то­на – Кан­то­ро­ви­ча об­ла­да­ет квад­ра­тич­ной схо­ди­мо­стью, а со­от­вет­ст­вую­щий мо­ди­фи­ци­ро­ван­ный ме­тод – ли­ней­ной схо­ди­мо­стью.

Ме­тод раз­ра­бо­тан И. Нью­то­ном