НЕ́ЙМАНА – ПИ́РСОНА ЛЕ́ММА

НЕ́ЙМАНА–ПИ́РСОНА ЛЕ́ММА, ут­вер­жде­ние о том, что в за­да­че про­вер­ки про­стой ста­ти­стич. ги­по­те­зы про­тив про­стой аль­тер­на­ти­вы кри­те­рий, ос­но­ван­ный на от­но­ше­нии прав­до­по­до­бия, яв­ля­ет­ся наи­бо­лее мощ­ным. Пусть $X$ – слу­чай­ный век­тор, при­ни­маю­щий зна­че­ния в про­стран­ст­ве $\text R^n$, ко­то­рый име­ет ли­бо рас­пределение $P_0$ (ги­по­те­за $H_0$), ли­бо рас­пре­де­ле­ние $P_1$ (ги­по­те­за $H_1$). Про­стей­ший ва­ри­ант Н. – П. л. свя­зан со слу­ча­ем, ко­гда рас­пре­де­ле­ния $P_i$  име­ют плот­но­сти $p_i(x),\; i=0,\; 1$ от­лич­ные от ну­ля на од­ном и том же мно­же­ст­ве $A$, и рас­пре­де­ле­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $p_1(X)/p_0(X)$ не­пре­рыв­но [слу­чай­ный век­тор $X$ мо­жет при­ни­мать зна­че­ния толь­ко из $A$ и на $A$ от­но­ше­ние прав­до­по­до­бия $p_1(x)/p_0(x)$ оп­ре­де­ле­но]. В Н. – П. л. рас­смат­ри­ва­ет­ся кри­те­рий про­вер­ки ги­по­те­зы $H_0$ про­тив аль­тер­на­ти­вы $H_1$, ко­то­рый со­сто­ит в том, что ги­по­те­за $H_0$ от­вер­га­ет­ся (при­ни­ма­ет­ся $H_1$), ес­ли $$p_1(X)/p_0(X)>c_α,$$ где $c_α$ оп­ре­де­ля­ет­ся из ра­вен­ст­ва $$\text P(p_1(X)/p_0(X)>c_α |H_0)=α$$ или, что то же са­мое, $$\int_S p_0(x)dx= \alpha,$$ где $S=\left \{ x: p_1(x)>c_αp_0(x)\right \}$. Для это­го кри­те­рия уро­вень зна­чи­мо­сти (ве­ро­ят­ность ошиб­ки пер­во­го ро­да, ве­ро­ят­ность от­верг­нуть $H_0$, ко­гда она вер­на) ра­вен $α$. Н. – П. л. ут­вер­жда­ет, что сре­ди всех кри­те­ри­ев про­вер­ки ги­по­те­зы $H_0$ про­тив аль­тер­на­ти­вы $H_1$ с уров­нем зна­чи­мо­сти $α$ ука­зан­ный кри­те­рий яв­ля­ет­ся наи­бо­лее мощ­ным, т. е. для не­го ве­ро­ят­ность ошиб­ки вто­ро­го ро­да (ве­ро­ят­ность от­верг­нуть $H_1$, ко­гда она вер­на) ми­ни­маль­на.

Н. – П. л., до­ка­зан­ную Ю. Ней­ма­ном