МАКСИМА́ЛЬНОГО ПРАВДОПОДО́БИЯ МЕ́ТОД

МАКСИМА́ЛЬНОГО ПРАВДОПОДО́БИЯ МЕ́ТОД, ме­тод на­хо­ж­де­ния ста­тис­тич. оце­нок не­из­вест­ных па­ра­мет­ров рас­пре­де­ле­ния слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$, со­глас­но ко­то­ро­му в ка­че­ст­ве оце­нок вы­би­ра­ют­ся те зна­че­ния па­ра­мет­ров, при ко­то­рых дан­ные ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний в не­ко­то­ром смыс­ле «наи­бо­лее ве­ро­ят­ны». Обыч­но пред­по­ла­га­ет­ся, что ре­зуль­та­ты на­блю­де­ний $X_1, ..., X_n$ над $X$ яв­ля­ют­ся вза­им­но не­за­ви­си­мы­ми слу­чай­ны­ми ве­ли­чи­на­ми с од­ним и тем же рас­пре­де­ле­ни­ем ве­ро­ят­но­стей, за­ви­ся­щим от не­из­вест­но­го па­ра­мет­ра $θ$ из из­вест­но­го мно­же­ст­ва до­пус­ти­мых зна­че­ний. Для при­да­ния точ­но­го смыс­ла вы­ра­же­нию «наи­бо­лее ве­ро­ят­ны» по­сту­па­ют сле­дую­щим об­ра­зом. Вво­дят функ­цию от пе­ре­мен­ных $x_1, ..., x_n$ и $θ$  $$L(x_1, ..., x_n; θ)=p(x_1; θ )...p(x_n; θ),$$

где $p(x; θ)$ в слу­чае не­пре­рыв­но­го рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ – плот­ность это­го рас­пре­де­ле­ния, а в дис­крет­ном слу­чае – ве­ро­ят­ность то­го, что $X$ при­ни­ма­ет зна­че­ние $x$. Функ­цию $L(X_1,...,X_n; θ)$ от слу­чай­ных ве­личин $X_1, ..., X_n$, рас­смат­ри­вае­мую как функ­цию па­ра­мет­ра $θ$, на­зы­ва­ют функ­ци­ей прав­до­по­до­бия, а оцен­кой макс. прав­до­по­до­бия па­ра­мет­ра $θ$ на­зы­ва­ют та­кое зна­че­ние $\hat θ=\hat θ (X_1,...,X_n)$ (яв­ляю­щее­ся слу­чай­ной ве­ли­чи­ной), при ко­то­ром функ­ция прав­до­по­до­бия дос­ти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния. Т. к. точ­ка мак­си­му­ма для $\ln L$ та же, что и для $L$, в ка­че­ст­ве оцен­ки макс. прав­до­по­до­бия вы­би­ра­ют ре­ше­ние $\hat θ$ т. н. урав­не­ния прав­до­по­до­бия $$\frac{d \ln L(X_1,...X_n;θ)}{dθ}=0$$

М. п. м. в дос­та­точ­но ши­ро­ком кру­ге прак­ти­че­ски важ­ных слу­ча­ев яв­ля­ет­ся в из­вест­ном смыс­ле наи­луч­шим. Так, напр., ес­ли для па­ра­мет­ра $θ$ су­ще­ст­ву­ет не­сме­щён­ная эф­фек­тив­ная оцен­ка $θ^*$ (см. Ста­ти­сти­че­ская оцен­ка

) по вы­бор­ке объ­ё­ма $n$, то урав­не­ние прав­до­по­до­бия име­ет един­ст­вен­ное ре­ше­ние $\hat θ=θ^*$. Об асим­пто­тич. по­ве­де­нии оце­нок макс. прав­до­по­до­бия при боль­ших $n$ из­вест­но, что при не­ко­то­рых об­щих ус­ло­ви­ях М. п. м. при­во­дит к не­сме­щён­ным оцен­кам, ко­то­рые асим­пто­ти­че­ски нор­маль­ны и асим­пто­ти­че­ски эф­фек­тив­ны.

Дан­ный под­ход обоб­ща­ет­ся на слу­чай не­сколь­ких не­из­вест­ных па­ра­мет­ров и на слу­чай вы­бо­рок из мно­го­мер­ных рас­пре­де­ле­ний. М. п. м. в его совр. ви­де был пред­ло­жен Ро­нал­дом Э. Фи­ше­ром

(1912), од­на­ко в ча­ст­ных слу­ча­ях ме­тод ис­поль­зо­вал­ся К. Га­ус­сом

 >>

, а в 18 в. под­хо­ды к идее это­го ме­то­да встре­ча­лись у И. Лам­бер­та

 >>

и Д. Бер­нул­ли

 >>

.