МАЖОРА́НТА И МИНОРА́НТА
-
Рубрика: Математика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
МАЖОРА́НТА И МИНОРА́НТА, две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (при всех рассматриваемых значениях независимой переменной). Напр., функция $f(x)=x$ для $x\gt–1$ является мажорантой функции $g(x)=\ln(1+x)$, т. к. $x \geqslant \ln(1+x)$ для всех значений $x \gt –1$.
Для функций, представимых степенными рядами, термину «мажоранта» часто придают более спец. смысл, понимая под мажорантой сумму степенного ряда с положительными коэффициентами, которые не меньше абсолютных величин соответствующих коэффициентов данного ряда. Если $f_1(x)$ – мажоранта в этом смысле функции $g(x)$, то пишут $f_1(x)≫g(x)$. Напр., $x/(1-x)≫ \ln(1+x)$, т. к. $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ldots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\ldots,\\ \frac{x}{1-x}=x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots$$
В этом смысле $f(x)=x$ уже не является мажорантой функции $\ln(1+x)$. Мажоранты степенных рядов широко применяются в теории дифференциальных уравнений. Так, на использовании мажорант основан метод приближённого решения дифференциальных уравнений, предложенный в 1919 С. А. Чаплыгиным.
Рассматриваются также М. им. семейства функций, когда соответствующие оценки имеют место для всех функций этого семейства.
Если интегрируемые функции $f_n(x), n=1, 2, ...$, имеют предел $\lim\limits_{n -> \infty} f_n(x)=f(x)$ и существует интегрируемая мажоранта $∣f_n(x)∣ \geqslant g(x), n=1,2,...$, то можно переходить к пределу под знаком интеграла, т. е. $$\lim\limits_{n -> \infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_n(x)dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx.$$