МАЖОРА́НТА И МИНОРА́НТА

МАЖОРА́НТА И МИНОРА́НТА, две функ­ции, зна­че­ния пер­вой из ко­то­рых не мень­ше, а вто­рой не боль­ше со­от­вет­ст­вую­щих зна­че­ний дан­ной функ­ции (при всех рас­смат­ри­вае­мых зна­че­ни­ях не­за­ви­си­мой пе­ре­мен­ной). Напр., функ­ция $f(x)=x$ для $x\gt–1$ яв­ля­ет­ся ма­жо­ран­той функ­ции $g(x)=\ln(1+x)$, т. к. $x \geqslant \ln(1+x)$ для всех зна­че­ний $x \gt –1$.

Для функ­ций, пред­ста­ви­мых сте­пен­ны­ми ря­да­ми, тер­ми­ну «ма­жо­ран­та» час­то при­да­ют бо­лее спец. смысл, по­ни­мая под ма­жо­ран­той сум­му сте­пен­но­го ря­да с по­ло­жи­тель­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, ко­то­рые не мень­ше аб­со­лют­ных ве­ли­чин со­от­вет­ст­вую­щих ко­эф­фи­ци­ен­тов дан­но­го ря­да. Ес­ли $f_1(x)$ – ма­жо­ран­та в этом смыс­ле функ­ции $g(x)$, то пи­шут $f_1(x)≫g(x)$. Напр., $x/(1-x)≫ \ln(1+x)$, т. к. $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\ldots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+\ldots,\\ \frac{x}{1-x}=x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots$$

В этом смыс­ле $f(x)=x$ уже не яв­ля­ет­ся ма­жо­ран­той функ­ции $\ln(1+x)$. Ма­жо­ран­ты сте­пен­ных ря­дов ши­ро­ко при­ме­ня­ют­ся в тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Так, на ис­поль­зо­ва­нии ма­жо­рант ос­но­ван ме­тод при­бли­жён­но­го ре­ше­ния диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, пред­ло­жен­ный в 1919 С. А. Ча­п­лы­ги­ным.

Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же М. им. се­мей­ст­ва функ­ций, ко­гда со­от­вет­ст­вую­щие оцен­ки име­ют ме­сто для всех функ­ций это­го се­мей­ст­ва.

Ес­ли ин­тег­ри­руе­мые функ­ции $f_n(x), n=1, 2, ...$, име­ют пре­дел $\lim\limits_{n -> \infty} f_n(x)=f(x)$ и су­ще­ст­ву­ет ин­тег­ри­руе­мая ма­жо­ран­та $∣f_n(x)∣ \geqslant g(x), n=1,2,...$, то мож­но пе­ре­хо­дить к пре­де­лу под зна­ком ин­те­гра­ла, т. е. $$\lim\limits_{n -> \infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f_n(x)dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)dx.$$