КОШИ́ ИНТЕГРА́Л
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
КОШИ́ ИНТЕГРА́Л, интеграл вида 12πi∫γf(t)t−zdt. Здесь γ – простая замкнутая спрямляемая кривая (см. Длина) в комплексной плоскости и f(t) – функция комплексного переменного t, аналитическая на γ и внутри γ. Если точка z лежит внутри γ, то К. и. равен f(z). Т. о., любая аналитич. функция может быть посредством К. и. выражена через свои значения на замкнутом контуре. К. и. был впервые рассмотрен О. Коши (1831).
Обобщением К. и. являются интегралы типа Коши; они имеют тот же вид, но кривая γ может быть незамкнутой, а функция f(t) предполагается заданной лишь на γ и абсолютно интегрируемой на ней. Такие интегралы по-прежнему определяют функции, аналитические во всех точках z комплексной плоскости, не лежащих на γ. Если f и γ достаточно гладки, то при переходе точки z с одной стороны кривой γ на другую через точку t_0∈γ интеграл типа Коши испытывает скачок, равный f(t_0). Подобные свойства (систематич. изучение которых было начато Ю. В. Сохоцким и продолжено югосл. математиком Й. Племелем, И. И. Приваловым, Н. И. Мусхелишвили) делают интеграл типа Коши важнейшим средством решения краевых задач теории функций, встречающихся в комплексном анализе, механике, теории упругости, теории интегрируемых систем и асимптотич. анализе.