КОШИ́ ИНТЕГРА́Л

КОШИ́ ИНТЕГРА́Л, ин­те­грал ви­да $$\frac{1}{2\pi i}\int_{γ} \frac{f(t)}{t-z}dt.$$ Здесь $γ$ – про­стая замк­ну­тая спрям­ляе­мая кри­вая (см. Дли­на) в ком­плекс­ной плос­ко­сти и $f(t)$ – функ­ция ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го $t$, ана­ли­ти­че­ская на $γ$ и внут­ри $γ$. Ес­ли точ­ка $z$ ле­жит внут­ри $γ$, то К. и. ра­вен $f(z)$. Т. о., лю­бая ана­ли­тич. функ­ция мо­жет быть по­сред­ст­вом К. и. вы­ра­же­на че­рез свои зна­че­ния на замк­ну­том кон­ту­ре. К. и. был впер­вые рас­смот­рен О. Ко­ши (1831).

Обоб­ще­ни­ем К. и. яв­ля­ют­ся ин­те­гра­лы ти­па Ко­ши; они име­ют тот же вид, но кри­вая γ мо­жет быть не­замк­ну­той, а функ­ция $f(t)$ пред­по­ла­га­ет­ся за­дан­ной лишь на $γ$ и аб­со­лют­но ин­тег­ри­руе­мой на ней. Та­кие ин­те­гра­лы по-преж­не­му оп­ре­де­ля­ют функ­ции, ана­ли­ти­че­ские во всех точ­ках $z$ ком­плекс­ной плос­ко­сти, не ле­жа­щих на $γ$. Ес­ли $f$ и $γ$ дос­та­точ­но глад­ки, то при пе­ре­хо­де точ­ки $z$ с од­ной сто­ро­ны кри­вой $γ$ на дру­гую че­рез точ­ку $t_0∈γ$ ин­те­грал ти­па Ко­ши ис­пы­ты­ва­ет ска­чок, рав­ный $f(t_0)$. По­доб­ные свой­ст­ва (сис­те­ма­тич. изу­че­ние ко­то­рых бы­ло на­ча­то Ю. В. Со­хоц­ким и про­дол­же­но югосл. ма­те­ма­ти­ком Й. Пле­ме­лем, И. И. При­ва­ло­вым, Н. И. Мус­хе­ли­шви­ли) де­ла­ют ин­те­грал ти­па Ко­ши важ­ней­шим сред­ст­вом ре­ше­ния крае­вых за­дач тео­рии функ­ций, встре­чаю­щих­ся в ком­плекс­ном ана­ли­зе, ме­ха­ни­ке, тео­рии уп­ру­го­сти, тео­рии ин­тег­ри­руе­мых сис­тем и асим­пто­тич. ана­ли­зе.