Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

КОНЕ́ЧНЫХ РА́ЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕ́НИЕ

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 15. Москва, 2010, стр. 41

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

Авторы: А. М. Зубков

КОНЕ́ЧНЫХ РА́ЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся свя­зи ме­ж­ду функ­ция­ми и раз­но­стя­ми их зна­че­ний (или ли­ней­ны­ми ком­би­на­ция­ми та­ких зна­че­ний) в за­ра­нее вы­бран­ных точ­ках. Пря­мой раз­но­стью 1-го по­ряд­ка с ша­гом h функ­ции f(x) в точ­ке x на­зы­ва­ет­ся ве­ли­чи­на Δkh[f](x)=f(x+h)f(x),об­рат­ной раз­но­стью – ве­ли­чи­на 1h[f](x)=f(x)f(xh), цен­траль­ной раз­но­стью – ве­ли­чи­на δ1h[f](x)=f(x+h/2)f(xh/2). Пря­мые раз­но­сти бо­лее вы­со­ких по­ряд­ков оп­ре­де­ля­ют­ся ин­дук­тив­но по фор­му­лами Δn+1h[f](x)=Δ1h[Δnh[f]](x),n=1,2,, ана­ло­гич­но для дру­гих раз­но­стей. Спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва Δnh[f](x)=nj=0(1)jCjnf(x+(nj)h),δnh[f](x)=nj=0(1)jCjnf(x+(n/2j)h).

Для диф­фе­рен­ци­руе­мых функ­ций с по­мо­щью ко­неч­ных раз­но­стей n-го по­ряд­ка при ма­лых зна­че­ни­ях h мож­но по­лу­чить при­бли­же­ния про­из­вод­ных n-го по­ряд­ка. Точ­ность при­бли­же­ния про­из­вод­ных функ­ции f её ко­неч­ны­ми раз­но­стя­ми при h0 за­ви­сит как от свойств функ­ции f, так и от ви­да раз­но­сти, напр.: f(x)={1hΔ1n[f](x)12hf

При чис­лен­ном ре­ше­нии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний вхо­дя­щие в эти урав­не­ния про­из­вод­ные за­ме­ня­ют ко­неч­ны­ми раз­но­стя­ми, что при­во­дит к сис­те­ме ре­кур­рент­ных урав­не­ний (см. Ре­кур­рент­ные со­от­но­ше­ния

 >>
) от­но­си­тель­но зна­че­ний ис­ко­мой функ­ции в точ­ках, об­ра­зую­щих не­ко­то­рую ариф­ме­тич. про­грес­сию. Точ­ность та­ко­го ме­то­да за­ви­сит от точ­но­сти при­бли­же­ния про­из­вод­ных с по­мо­щью ко­неч­ных раз­но­стей.

Ес­ли раз­но­сти стро­ят­ся по зна­че­ни­ям функ­ции f в про­из­воль­ных уз­лах \{ x_k \}, то ис­поль­зу­ют­ся раз­де­лён­ные раз­но­сти \Delta_{[x_i,x_j]}[f]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_i-x_j}, \\ \Delta_{[x_1,\ldots,x_{k+1}]}[f]=\frac{\Delta_{[x_2,\ldots,x_{k+1}]} [f]-\Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]}{x_{k+1}-x_1},\\ k=2,3 \ldots . Спра­вед­ли­ва об­щая фор­му­ла \Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]=\sum_{j=1}^kf(x_j)\prod_{i \neq j}\frac{1}{x_j-x_i},  из ко­то­рой сле­ду­ет, что зна­че­ние раз­де­лён­ной раз­но­сти не за­ви­сит от по­ряд­ка ар­гу­мен­тов x_1,...,x_k. В тер­ми­нах раз­де­лён­ных раз­но­стей про­сто за­пи­сы­ва­ет­ся фор­му­ла Нью­то­на для ин­тер­по­ля­ци­он­но­го мно­го­чле­на P_n(x), т. е. для мно­го­чле­на, ко­то­рый сов­па­да­ет с функ­ци­ей f(x) в точ­ках x_1,\ldots,x_n: P_n(x)=f(x_1)+\sum_{k=2}^n\Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j).

Од­ним из раз­де­лов К. р. и. яв­ля­ет­ся тео­рия урав­не­ний в ко­неч­ных раз­но­стях, в ко­то­рой изу­ча­ют­ся, в ча­ст­но­сти, ме­то­ды ре­ше­ния урав­не­ний ви­да  F(x,f(x),\Delta_h^1[f](x),\ldots,\Delta_h^n[f](x))=0, где F – за­дан­ная, а f – ис­ко­мая функ­ция. Эта тео­рия во мно­гом ана­ло­гич­на тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Наи­бо­лее раз­ра­бо­та­ны слу­чаи, ко­гда функ­ция F ли­ней­на по всем ар­гу­мен­там или по всем ар­гу­мен­там, кро­ме пер­во­го.

Лит.: Гель­фонд А. О. Ис­чис­ле­ние ко­неч­ных раз­но­стей. 4-е изд. М., 2006; Бах­ва­лов Н. С., Жид­ков НП., Ко­бель­ков Г. М. Чис­лен­ные ме­то­ды. 6-е изд. М., 2008.

Вернуться к началу