КОНЕ́ЧНЫХ РА́ЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕ́НИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
КОНЕ́ЧНЫХ РА́ЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раздел математики, в котором изучаются связи между функциями и разностями их значений (или линейными комбинациями таких значений) в заранее выбранных точках. Прямой разностью 1-го порядка с шагом h функции f(x) в точке x называется величина Δkh[f](x)=f(x+h)−f(x),обратной разностью – величина ∇1h[f](x)=f(x)−f(x−h), центральной разностью – величина δ1h[f](x)=f(x+h/2)−f(x−h/2). Прямые разности более высоких порядков определяются индуктивно по формулами Δn+1h[f](x)=Δ1h[Δnh[f]](x),n=1,2,…, аналогично для других разностей. Справедливы равенства Δnh[f](x)=n∑j=0(−1)jCjnf(x+(n−j)h),δnh[f](x)=n∑j=0(−1)jCjnf(x+(n/2−j)h).
Для дифференцируемых функций с помощью конечных разностей n-го порядка при малых значениях h можно получить приближения производных n-го порядка. Точность приближения производных функции f её конечными разностями при h→0 зависит как от свойств функции f, так и от вида разности, напр.: f′(x)={1hΔ1n[f](x)−12hf″
При численном решении дифференциальных уравнений входящие в эти уравнения производные заменяют конечными разностями, что приводит к системе рекуррентных уравнений (см. Рекуррентные соотношения) относительно значений искомой функции в точках, образующих некоторую арифметич. прогрессию. Точность такого метода зависит от точности приближения производных с помощью конечных разностей.
Если разности строятся по значениям функции f в произвольных узлах \{ x_k \}, то используются разделённые разности \Delta_{[x_i,x_j]}[f]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_i-x_j}, \\ \Delta_{[x_1,\ldots,x_{k+1}]}[f]=\frac{\Delta_{[x_2,\ldots,x_{k+1}]} [f]-\Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]}{x_{k+1}-x_1},\\ k=2,3 \ldots . Справедлива общая формула \Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]=\sum_{j=1}^kf(x_j)\prod_{i \neq j}\frac{1}{x_j-x_i}, из которой следует, что значение разделённой разности не зависит от порядка аргументов x_1,...,x_k. В терминах разделённых разностей просто записывается формула Ньютона для интерполяционного многочлена P_n(x), т. е. для многочлена, который совпадает с функцией f(x) в точках x_1,\ldots,x_n: P_n(x)=f(x_1)+\sum_{k=2}^n\Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j).
Одним из разделов К. р. и. является теория уравнений в конечных разностях, в которой изучаются, в частности, методы решения уравнений вида F(x,f(x),\Delta_h^1[f](x),\ldots,\Delta_h^n[f](x))=0, где F – заданная, а f – искомая функция. Эта теория во многом аналогична теории дифференциальных уравнений. Наиболее разработаны случаи, когда функция F линейна по всем аргументам или по всем аргументам, кроме первого.