КОНЕ́ЧНЫХ РА́ЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕ́НИЕ

КОНЕ́ЧНЫХ РА́ЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся свя­зи ме­ж­ду функ­ция­ми и раз­но­стя­ми их зна­че­ний (или ли­ней­ны­ми ком­би­на­ция­ми та­ких зна­че­ний) в за­ра­нее вы­бран­ных точ­ках. Пря­мой раз­но­стью 1-го по­ряд­ка с ша­гом $h$ функ­ции $f(x)$ в точ­ке $x$ на­зы­ва­ет­ся ве­ли­чи­на $$\Delta_h^k[f](x)=f(x+h)-f(x),$$об­рат­ной раз­но­стью – ве­ли­чи­на $$\nabla_h^1[f](x)=f(x)-f(x-h),$$ цен­траль­ной раз­но­стью – ве­ли­чи­на $$\delta_h^1[f](x)=f(x+h/2)-f(x-h/2).$$ Пря­мые раз­но­сти бо­лее вы­со­ких по­ряд­ков оп­ре­де­ля­ют­ся ин­дук­тив­но по фор­му­лами $$\Delta_h^{n+1}[f](x)=\Delta_h^1[\Delta_h^n[f]](x),\,n=1,2,\ldots\,,$$ ана­ло­гич­но для дру­гих раз­но­стей. Спра­вед­ли­вы ра­вен­ст­ва $$ \Delta_h^n[f](x)=\sum_{j=0}^n(-1)^jC_n^jf(x+(n-j)h),\\ \delta_h^n[f](x)=\sum_{j=0}^n(-1)^jC_n^jf(x+(n/2-j)h).$$

Для диф­фе­рен­ци­руе­мых функ­ций с по­мо­щью ко­неч­ных раз­но­стей $n$-го по­ряд­ка при ма­лых зна­че­ни­ях $h$ мож­но по­лу­чить при­бли­же­ния про­из­вод­ных $n$-го по­ряд­ка. Точ­ность при­бли­же­ния про­из­вод­ных функ­ции $f$ её ко­неч­ны­ми раз­но­стя­ми при $h→0$ за­ви­сит как от свойств функ­ции $f$, так и от ви­да раз­но­сти, напр.: $$ f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{h}\Delta_n^1[f](x)-{1\over2}hf''(\xi),& \text{где}\,\xi \in (x,x+h)\\ {1 \over h}\delta_h^1[f](x)-{1 \over 24}h^2f'''(\xi),& \text{где}\,\xi \in (x-h/2,x+h/2). \end{cases} $$

При чис­лен­ном ре­ше­нии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний вхо­дя­щие в эти урав­не­ния про­из­вод­ные за­ме­ня­ют ко­неч­ны­ми раз­но­стя­ми, что при­во­дит к сис­те­ме ре­кур­рент­ных урав­не­ний (см. Ре­кур­рент­ные со­от­но­ше­ния) от­но­си­тель­но зна­че­ний ис­ко­мой функ­ции в точ­ках, об­ра­зую­щих не­ко­то­рую ариф­ме­тич. про­грес­сию. Точ­ность та­ко­го ме­то­да за­ви­сит от точ­но­сти при­бли­же­ния про­из­вод­ных с по­мо­щью ко­неч­ных раз­но­стей.

Ес­ли раз­но­сти стро­ят­ся по зна­че­ни­ям функ­ции $f$ в про­из­воль­ных уз­лах $\{ x_k \}$, то ис­поль­зу­ют­ся раз­де­лён­ные раз­но­сти $$\Delta_{[x_i,x_j]}[f]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_i-x_j}, \\ \Delta_{[x_1,\ldots,x_{k+1}]}[f]=\frac{\Delta_{[x_2,\ldots,x_{k+1}]} [f]-\Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]}{x_{k+1}-x_1},\\ k=2,3 \ldots .$$ Спра­вед­ли­ва об­щая фор­му­ла $$ \Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]=\sum_{j=1}^kf(x_j)\prod_{i \neq j}\frac{1}{x_j-x_i}, $$ из ко­то­рой сле­ду­ет, что зна­че­ние раз­де­лён­ной раз­но­сти не за­ви­сит от по­ряд­ка ар­гу­мен­тов $x_1,...,x_k$. В тер­ми­нах раз­де­лён­ных раз­но­стей про­сто за­пи­сы­ва­ет­ся фор­му­ла Нью­то­на для ин­тер­по­ля­ци­он­но­го мно­го­чле­на $P_n(x)$, т. е. для мно­го­чле­на, ко­то­рый сов­па­да­ет с функ­ци­ей $f(x)$ в точ­ках $x_1,\ldots,x_n$: $$P_n(x)=f(x_1)+\sum_{k=2}^n\Delta_{[x_1,\ldots,x_k]}[f]\prod_{j=1}^{k-1}(x-x_j).$$

Од­ним из раз­де­лов К. р. и. яв­ля­ет­ся тео­рия урав­не­ний в ко­неч­ных раз­но­стях, в ко­то­рой изу­ча­ют­ся, в ча­ст­но­сти, ме­то­ды ре­ше­ния урав­не­ний ви­да  $$F(x,f(x),\Delta_h^1[f](x),\ldots,\Delta_h^n[f](x))=0,$$ где $F$ – за­дан­ная, а $f$ – ис­ко­мая функ­ция. Эта тео­рия во мно­гом ана­ло­гич­на тео­рии диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний. Наи­бо­лее раз­ра­бо­та­ны слу­чаи, ко­гда функ­ция $F$ ли­ней­на по всем ар­гу­мен­там или по всем ар­гу­мен­там, кро­ме пер­во­го.