КОНГРУЭ́НЦИЙ ТЕО́РИЯ

КОНГРУЭ́НЦИЙ ТЕО́РИЯ, раз­дел ал­геб­ры, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся кон­гру­эн­ции на уни­вер­саль­ных ал­геб­рах. Кон­гру­эн­ци­ей на уни­вер­саль­ной ал­геб­ре $A$ на­зы­ва­ет­ся от­но­ше­ние эк­ви­ва­лент­но­сти $π$ на мно­же­ст­ве эле­мен­тов ал­геб­ры, пе­ре­ста­но­воч­ное с лю­бой из её опе­ра­ций. Это оз­на­ча­ет, что для лю­бой опе­ра­ции $ω$ с $n$ пе­ре­мен­ны­ми, за­дан­ной в $A$, ес­ли $$a_iπb_i, a_i, b_i∈A, i=1,… n, $$ то и $$(a_1,…, a_nω)π(b_1,…, b_nω). $$

Кон­гру­эн­ция $π$ за­да­ёт на мно­же­ст­ве клас­сов эле­мен­тов, эк­ви­ва­лент­ных по от­но­ше­нию эк­ви­ва­лент­но­сти $π$, струк­ту­ру уни­вер­саль­ной ал­геб­ры. Эта ал­геб­ра обо­зна­ча­ет­ся $A/π$ и на­зы­ва­ет­ся фак­тор­ал­геб­рой ал­геб­ры $A$ по кон­гру­эн­ции $π$. С кон­гру­эн­ци­ей $π$ свя­за­но ото­бра­же­ние $φ\! : A→A/π,\, φ(A)=A/π$, ста­вя­щее в со­от­вет­ст­вие ка­ж­до­му эле­мен­ту $a∈A$ тот класс фак­то­рал­геб­ры $A/π$, ко­то­ро­му при­над­ле­жит эле­мент $a$. Об­рат­но, вся­кий го­мо­мор­физм $φ\! : A→B$ од­но­знач­но оп­ре­де­ля­ет кон­гру­эн­цию, клас­са­ми эк­ви­ва­лент­но­сти ко­то­рой слу­жат про­об­ра­зы эле­мен­тов мно­же­ст­ва $B$.