КВАДРАТУ́РНЫЕ ФО́РМУЛЫ

КВАДРАТУ́РНЫЕ ФО́РМУЛЫ, фор­му­лы при­бли­жён­но­го вы­чис­ле­ния оп­ре­де­лён­но­го ин­те­гра­ла от функ­ции $f(x)$ по её зна­че­ни­ям в ко­неч­ном чис­ле то­чек. По­греш­ность вы­чис­ле­ния ин­те­гра­лов по К. ф. за­ви­сит от глад­ко­сти функ­ции $f(x)$. Обыч­но К. ф. име­ют вид $$\int\limits_a^b f(x)dx \approx p_1f(x_1)+ \ldots+p_nf(x_n),$$где $x_1, \ldots, x_n$ – точ­ки от­рез­ка $[a,b]$, их на­зы­ва­ют уз­ла­ми К. ф., а $p_1, \ldots, p_n$ – чис­ла, их на­зы­ва­ют ко­эф­фи­ци­ен­та­ми (или ве­са­ми) К. ф. Час­то от­ре­зок $[a,b]$ раз­би­ва­ют на ко­неч­ное чис­ло от­рез­ков, на ка­ж­дом из ко­то­рых ис­поль­зу­ют к.-л. про­стую К. ф. Про­стей­ши­ми К. ф. яв­ля­ют­ся фор­му­ла пря­мо­уголь­ни­ков $$\int\limits_a^bf(x)dx \approx(b-a)f \left(\frac{a+b}{2}\right) \int f(x)dx \approx (b-a)f \left(\frac{a+b}{2}\right)$$и фор­му­ла тра­пе­ций $$\int\limits_a^bf(x)dx\approx \frac {b-a}{a}(f(a)+f(b)),$$они да­ют точ­ное зна­че­ние ин­те­гра­ла для ли­ней­ных функ­ций. Фор­му­ла Симп­со­на $$\int\limits_a^bf(x)dx \approx \frac{b-a}{6} \left(f(a)+4f \left(\frac{a+b}{2} \right)+f(b) \right)$$ да­ёт точ­ное зна­че­ние ин­те­гра­ла для мно­го­чле­нов 3-й сте­пе­ни.

Для при­бли­жён­но­го вы­чис­ле­ния крат­ных ин­те­гра­лов ис­поль­зу­ют­ся ана­ло­гич­ные фор­му­лы, ко­то­рые на­зы­ва­ют ку­ба­тур­ны­ми.

Для вы­чис­ле­ния, в пер­вую оче­редь крат­ных ин­те­гра­лов, ис­поль­зу­ют так­же фор­му­лы со слу­чай­ным вы­бо­ром уз­лов и ко­эф­фи­ци­ен­тов (см. Мон­те-Кар­ло ме­тод).