ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ МНОГООБРА́ЗИЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ИНТЕГРА́ЛЬНОЕ МНОГООБРА́ЗИЕ системы дифференциальных уравнений $$\frac{dx}{dt}=X(t, x), \qquad{(*)}$$ множество $S$ точек расширенного фазового пространства (пространства переменных $(t, x)$), которое заполнено интегральными кривыми этой системы (т. е. графиками её решений), определёнными для всех $t∈{\bf R}$, и для которого координаты $x$ его точек $(t, x)$ при любом фиксированном $t$ образуют многообразие $S_t$ в фазовом пространстве этой системы (пространстве переменной $x$). Иногда говорят, что многообразие $S_t$ в расширенном фазовом пространстве, точки которого при изменении $t$ изменяют своё положение согласно $(*)$, как бы шевелится, это – наглядный образ И. м. Дополнительно часто подразумевают к.-л. условие о характере зависимости $S_t$ от $t$. Напр., если $X(t, x)$ зависит от $t$ периодически, интересуются теми $S$, для которых $S_t$ также зависит от $t$ периодически. При определении И. м. иногда требуют аналитич. представимости множества $S_t$ уравнением $x=f(t,C)$, где функция $f$, заданная для всех $t∈{\bf R}$ и для $C=(C_1,…, C_m)$ из некоторой области $D$, обладает определённой гладкостью по $(t,C)$ при $(t, C)∈{\bf R}×D$. В этом случае И. м. называют $m$-мерным той же гладкости, какова гладкость функции $f$.
Примеры: интегральная кривая периодич. решения системы $(*)$, т. е. периодич. интегральная кривая; семейство интегральных кривых системы $(*)$, образованное семейством квазипериодич. решений системы $(*)$, заполняющих $m$-мерный тор в пространстве переменной $x$ при $t=0$, т. е. $m$-мерное тороидальное интегральное многообразие.
Наиболее изученные И. м. – тороидальные многообразия, для которых $S_t$ являются торами при любом фиксиров. $t∈{\bf R}$. Эти многообразия часто встречаются в системах вида $(*)$, описывающих колебательные процессы.
Родственным И. м. является понятие инвариантного многообразия автономной системы [системы с не зависящей от $t$ правой частью $(*)$]. В этом случае интерес представляют И. м. $S$, для которых $S_t$ не зависит от $t$; они называются инвариантными многообразиями.