ИНВЕ́РСИЯ

ИНВЕ́РСИЯ в ма­те­ма­ти­ке, пре­об­ра­зо­ва­ние плос­ко­сти, для ко­то­ро­го не­ко­то­рая точ­ка $O$, на­зы­вае­мая цен­тром И., фик­си­ро­ва­на и лю­бая точ­ка $A$, не сов­па­даю­щая с $O$, пе­ре­хо­дит в точ­ку $A′$, ле­жа­щую на лу­че $OA$, та­кую, что про­из­ве­дение длин от­рез­ков $OA$ и $OA′$ рав­но не­ко­то­ро­му чис­лу $k$, од­но­му и то­му же для лю­бой точ­ки $A$ (рис.). Центр И. $O$ ино­гда на­зы­ва­ют по­лю­сом И., а $k$ – сте­пе­нью или ко­эф­фи­ци­ен­том И. Точ­ки ок­руж­ности $S$ с цен­тром $O$ и ра­диу­сом пе­ре­хо­дят при И. са­ми в се­бя; об­раз­ами внеш­них по от­но­ше­нию к $S$ то­чек яв­ля­ют­ся внут­рен­ние точ­ки, а об­раз­ами внут­рен­них – внеш­ние; центр И. не име­ет об­раза. Ино­гда И. на­зы­ва­ет­ся сим­мет­ри­ей от­но­си­тель­но ок­руж­но­сти. Рас­смат­ри­ва­ет­ся так­же И. с $k<0$. И. с от­ри­ца­тель­ным ко­эф. $k$ рав­но­силь­на И. с тем же цен­тром $O$ и по­ло­жит. ко­эф. $∣k∣$, со­про­во­ж­дае­мой сим­мет­ри­ей

от­но­си­тель­но точ­ки $O$. И. с $k>0$ на­зы­ва­ет­ся ги­пер­бо­лич., а с $k<0$ – эл­лип­тич. И. или ан­ти­ин­вер­си­ей.

Пря­мая, про­хо­дя­щая че­рез центр И., пре­об­ра­зу­ет­ся в се­бя. Пря­мая, не про­хо­дя­щая че­рез центр И., пре­об­ра­зу­ет­ся в ок­руж­ность без од­ной точ­ки. Эта ок­руж­ность про­хо­дит че­рез точ­ку $O$, и точ­ка $O$ ис­клю­ча­ет­ся из ок­руж­но­сти, об­рат­ное так­же вер­но. Ок­руж­но­сти, ор­то­го­наль­ные к ок­руж­но­сти с цен­тром $O$ и ра­диу­сом $\sqrt{∣k∣}$ пре­об­ра­зу­ют­ся са­ми в се­бя. В де­кар­то­вых пря­мо­уголь­ных ко­ор­ди­на­тах И. с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат мо­жет быть за­да­на фор­му­ла­ми

$$x'=\frac{kx}{x^2+y^2},\, y'=\frac{ky}{x^2+y^2},$$  или, в плос­ко­сти ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, фор­му­лой $z′ = k/ \bar{z}$ где чер­та оз­на­ча­ет ком­плекс­ное со­пря­же­ние.

 

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся И. от­но­си­тель­но сфе­ры в про­стран­ст­ве.

Пре­об­ра­зо­ва­ние И. с 1824 сис­те­ма­тиче­ски при­ме­нял швейц. ма­те­ма­тик Я. Штей­нер.