ИНВЕ́РСИЯ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
ИНВЕ́РСИЯ в математике, преобразование плоскости, для которого некоторая точка O, называемая центром И., фиксирована и любая точка A, не совпадающая с O, переходит в точку A′, лежащую на луче OA, такую, что произведение длин отрезков OA и OA′ равно некоторому числу k, одному и тому же для любой точки A (рис.). Центр И. O иногда называют полюсом И., а k – степенью или коэффициентом И. Точки окружности S с центром O и радиусом переходят при И. сами в себя; образами внешних по отношению к S точек являются внутренние точки, а образами внутренних – внешние; центр И. не имеет образа. Иногда И. называется симметрией относительно окружности. Рассматривается также И. с k<0. И. с отрицательным коэф. k равносильна И. с тем же центром O и положит. коэф. ∣k∣, сопровождаемой симметрией относительно точки O. И. с k>0 называется гиперболич., а с k<0 – эллиптич. И. или антиинверсией.
Прямая, проходящая через центр И., преобразуется в себя. Прямая, не проходящая через центр И., преобразуется в окружность без одной точки. Эта окружность проходит через точку O, и точка O исключается из окружности, обратное также верно. Окружности, ортогональные к окружности с центром O и радиусом √∣k∣ преобразуются сами в себя. В декартовых прямоугольных координатах И. с центром в начале координат может быть задана формулами x′=kxx2+y2,y′=kyx2+y2, или, в плоскости комплексного переменного, формулой z′=k/ˉz где черта означает комплексное сопряжение.
Аналогично определяется И. относительно сферы в пространстве.
Преобразование И. с 1824 систематически применял швейц. математик Я. Штейнер.
