ИЗОПЕРИМЕТРИ́ЧЕСКАЯ ЗАДА́ЧА

ИЗОПЕРИМЕТРИ́ЧЕСКАЯ ЗАДА́ЧА, од­на из клас­сич. за­дач ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния. Про­стей­шие И. з. (на­хо­ж­де­ние тре­уголь­ни­ков и мно­го­уголь­ни­ков за­дан­но­го пе­ри­мет­ра, имею­щих наи­боль­шую пло­щадь; на­хо­ж­де­ние замк­ну­той кри­вой за­дан­ной дли­ны, ог­ра­ни­чи­ваю­щей макс. пло­щадь; оп­ре­де­ле­ние замк­ну­той по­верх­но­сти за­дан­ной пло­ща­ди, ог­ра­ни­чи­ваю­щей наи­боль­ший объ­ём) бы­ли из­вест­ны др.-греч. учё­ным. Об­щее изу­че­ние И. з. на­ча­лось в 1696, ко­гда И. Бер­нул­ли по­ста­вил за­да­чу, со­стоя­щую в том, что­бы най­ти сре­ди всех кри­вых, со­еди­няю­щих две за­дан­ные точ­ки, та­кую, для ко­то­рой не­ко­то­рая ве­ли­чи­на, за­ви­ся­щая от кри­вой, дос­ти­га­ет ми­ни­му­ма (см. Бра­хи­сто­хро­на). Сис­те­ма­тич. ис­сле­до­ва­ние И. з. бы­ло на­ча­то Л. Эй­ле­ром в 1730-х гг.

При­ме­ром И. з. яв­ля­ет­ся за­да­ча о на­хо­ж­де­нии сре­ди кри­вых дан­ной дли­ны $l$, про­хо­дя­щих че­рез точ­ки $A$ и $B$ на плос­ко­сти, кри­вой $y=y(x)$, $x_0⩽x⩽x_1$ (рис.), для ко­то­рой пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции $ABx_1x_0$ мак­си­маль­на. Т. к. пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции рав­на,$$\int_{x_0}^{x^1}y(x)dx, \qquad(1)$$а длина дуги $$l=\int_{x_0}^{x^1}\sqrt{1+(y'(x))^2dx}, \qquad(2)$$то эта И. з. сво­дит­ся к на­хо­ж­де­нию наи­боль­ше­го зна­че­ния ин­те­гра­ла (1) при за­дан­ной ве­ли­чи­не (2). Ока­зы­ва­ет­ся, что ис­ко­мая кри­вая – ду­га ок­руж­но­сти.

а дли­на ду­ги