ЖОРДА́НА КРИВА́Я

ЖОРДА́НА КРИВА́Я, мно­же­ст­во то­чек $M(x,y)$ плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых оп­ре­де­ля­ют­ся ра­вен­ст­ва­ми $x = φ(t),\; y = ψ(t)$, где $φ$ и $ψ$ – не­пре­рыв­ные функ­ции ар­гу­мен­та $t$ на не­ко­то­ром от­рез­ке ${[}a,b{]}$. Ина­че го­во­ря, Ж. к. есть не­пре­рыв­ный об­раз от­рез­ка ${[}a,b{]}$. Это оп­ре­де­ле­ние яв­ля­ет­ся од­ним из воз­мож­ных стро­гих оп­ре­де­ле­ний по­ня­тия не­пре­рыв­ной кри­вой. Од­на­ко Ж. к. мо­жет иметь ма­ло об­ще­го с ин­туи­тив­ным пред­став­лени­ем о кри­вой как о «тон­кой ни­ти». Напр., Ж. к. мо­жет про­хо­дить че­рез все точ­ки не­ко­то­ро­го квад­ра­та (см. Пеа­но кри­вая).

Ес­ли точ­ки $M(x,y)$ Ж. к., со­от­вет­ст­вую­щие разл. зна­че­ни­ям $t$, раз­лич­ны ме­ж­ду со­бой, то Ж. к. на­зы­ва­ет­ся про­стой ду­гой. Ины­ми сло­ва­ми, про­стая ду­га есть Ж. к. без крат­ных то­чек. Про­стая ду­га яв­ля­ет­ся го­мео­морф­ным об­ра­зом от­рез­ка, т. е. мо­жет быть по­лу­че­на из от­рез­ка с по­мо­щью вза­им­но од­но­знач­но­го не­пре­рыв­но­го ото­бра­же­ния, об­рат­ное к ко­то­ро­му так­же не­пре­рыв­но. Ес­ли же точ­ки Ж. к., со­от­вет­ст­вую­щие $t = a$ и $t = b$, сов­па­да­ют, а все ос­таль­ные точ­ки раз­лич­ны ме­ж­ду со­бой и от­лич­ны от $M(φ (a),ψ (a))$, то Ж. к. на­зы­ва­ет­ся про­стым замк­ну­тым кон­ту­ром. Та­кая Ж. к. яв­ля­ет­ся го­мео­морф­ным об­ра­зом ок­руж­но­сти.

М. Э. К. Жор­дан, име­нем ко­то­ро­го на­зва­на Ж. к., до­ка­зал (1882), что вся­кий про­стой замк­ну­тый кон­тур де­лит плос­кость на две об­лас­ти, из ко­то­рых од­на яв­ля­ет­ся внут­рен­ней по от­но­ше­нию к этой кри­вой, а дру­гая – внеш­ней. Это пред­ло­же­ние но­сит на­зва­ние тео­ре­мы Жор­да­на.