ДВО́ЙСТВЕННОСТИ ПРИ́НЦИП

ДВО́ЙСТВЕННОСТИ ПРИ́НЦИП в ма­те­ма­ти­ке, по­ло­же­ние, со­стоя­щее в том, что, за­ме­няя в лю­бом вер­ном пред­ло­же­нии все вхо­дя­щие в не­го по­ня­тия на т. н. двой­ст­вен­ные им, по­лу­ча­ют вер­ное, двой­ст­вен­ное пер­во­му, пред­ло­же­ние.

Спра­вед­ли­вость Д. п. в про­ек­тив­ной гео­мет­рии вы­те­ка­ет из то­го, что ка­ж­дой ак­сио­ме про­ек­тив­ной гео­мет­рии со­от­вет­ст­ву­ет двой­ст­вен­ное пред­ло­же­ние, яв­ляю­щее­ся ли­бо ак­сио­мой, ли­бо тео­ре­мой. В про­ек­тив­ной гео­мет­рии на плос­ко­сти двой­ст­вен­ны­ми яв­ля­ют­ся сле­дую­щие по­ня­тия: точ­ке двой­ст­вен­на пря­мая; точ­ке, ин­ци­дент­ной пря­мой, двой­ст­вен­на пря­мая, ин­ци­дент­ная точ­ке; ал­геб­ра­ич. ли­нии по­ряд­ка $n$ двой­ст­вен ал­геб­ра­ич. пу­чок пря­мых клас­са $n$; ка­са­тель­ной пря­мой к ли­нии двой­ст­вен­на ха­рак­те­ри­стич. точ­ка пуч­ка (см. Про­ек­тив­ная гео­мет­рия).

В ма­те­ма­тич. ло­ги­ке Д. п. со­сто­ит во взаи­мо­за­ме­няе­мо­сти в оп­ре­де­лён­ном смыс­ле ло­гич. опе­ра­ций. Пусть $A$ – фор­му­ла язы­ка ло­ги­ки вы­ска­зы­ва­ний, не со­дер­жа­щая зна­ка им­пли­ка­ции $\to$ ; фор­му­ла $A^*$ на­зы­ва­ет­ся двой­ст­вен­ной фор­му­ле $A$, ес­ли она мо­жет быть по­лу­че­на из $A$ за­ме­ной ка­ж­до­го вхо­ж­де­ния сим­во­лов $\&$, $\lor$, $\forall$, $\exists$ двой­ст­вен­ны­ми им опе­ра­ция­ми, т. е. со­от­вет­ст­вен­но сим­во­ла­ми $\lor$, $\&$, $\exists$, $\forall$. Д. п. гла­сит, что ес­ли $A \to B$ ис­тин­но, то ис­тин­но $B^*\to A^*$. В ча­ст­но­сти, ес­ли фор­му­лы $A$ и $B$ эк­ви­ва­лент­ны, то эк­ви­ва­лент­ны и двой­ст­вен­ные им фор­му­лы $A^*$ и $B^*$. См. так­же Ал­геб­ра ло­ги­ки, Ма­те­ма­ти­че­ская ло­ги­ка.