А́ЛГЕБРА МНО́ЖЕСТВ

А́ЛГЕБРА МНО́ЖЕСТВ, не­пус­тая сис­те­ма под­мно­жеств дан­но­го мно­же­ст­ва, замк­ну­тая от­но­си­тель­но не­ко­то­ро­го на­бо­ра опе­ра­ций. Впер­вые А. м. вве­де­ны Дж. Бу­лем (1847). Обыч­но име­ет­ся в ви­ду замк­ну­тость от­но­си­тель­но бу­ле­вых опе­ра­ций объ­е­ди­не­ния, пе­ре­се­че­ния и до­пол­не­ния; в этом слу­чае А. м. на­зы­ва­ет­ся бу­ле­вой ал­геб­рой, ино­гда – по­лем мно­жеств. При­ме­ром А. м. яв­ля­ет­ся ал­геб­ра всех под­мно­жеств дан­но­го мно­же­ст­ва $X$, обыч­но обо­зна­чае­мая $2^X$; вся­кая ко­неч­ная бу­ле­ва А. м. изо­морф­на ал­геб­ре та­ко­го ви­да. Бу­ле­ва А. м., замк­ну­тая от­но­си­тель­но счёт­ных объ­е­ди­не­ний, на­зы­ва­ет­ся $σ$-ал­геб­рой мно­жеств. При­ме­ра­ми $σ$-ал­гебр яв­ля­ют­ся ал­геб­ра $2^X$, ал­геб­ра из­ме­ри­мых по Ле­бе­гу мно­жеств и ал­геб­ра бо­ре­лев­ских мно­жеств на пря­мой. Рас­смат­ри­ва­ют­ся так­же ал­геб­ры мно­жеств с др. опе­ра­ция­ми, напр. то­по­бу­ле­вы ал­геб­ры – бу­ле­вы ал­геб­ры под­мно­жеств то­по­ло­гич. про­странств с опе­ра­ция­ми за­мы­ка­ния и об­ра­зо­ва­ния внут­рен­но­сти; гей­тин­го­вы, или псев­до­бу­ле­вы, ал­геб­ры – ал­геб­ры от­кры­тых под­мно­жеств то­по­ло­гич. про­странств с опе­ра­ция­ми пе­ре­се­че­ния, объ­е­ди­не­ния и им­пли­ка­ции.

А. м. ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в разл. об­ла­стях ма­те­ма­ти­ки, напр. в ве­ро­ят­но­стей те­о­рии, ди­скрет­ной ма­те­ма­ти­ке, фу­н­кций те­о­рии.