СТИ́РЛИНГА ФО́РМУЛА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
Книжная версия:
Электронная версия:
СТИ́РЛИНГА ФО́РМУЛА (формула Муавра – Стирлинга), равенство, позволяющее находить приближённые значения факториалов n!=1·2·...·n при больших значениях n и имеющее вид n!=\sqrt{2\pi n}\left( \frac{e}{n} \right)^n e^{θ (n)}, где |θ(n)|\leqslant \frac{1}{12n} и e=2,71828... – основание натуральных логарифмов. Часто С. ф. используется в видеn!\sim \sqrt{2\pi n}\left( \frac{e}{n} \right)^n, т. е. отношение левой части к правой стремится к единице при n→∞. С. ф. в виде n!\approx B \sqrt{n}\left( \frac{n}{e} \right)^n была открыта А. де Муавром (1730), который нашёл и приближённое значение постоянной B, равное 2,5074. С вопросом о точном значении B он обратился к Дж. Стирлингу, предложившему (1730) первое асимптотич. разложение для логарифма гамма-функции, т. н. ряд Стирлинга, из которого следует, что B=\sqrt{2\pi}=2.506628.... Для натуральных n гамма-функция и число n! связаны равенством Γ(n+1)=n!, из ряда Стирлинга следует, что n!=\sqrt{2\pi n}\left( \frac{n}{e} \right)^n \times \\ \times \left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}+...\right).