Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js
Подпишитесь на наши новости
Вернуться к началу с статьи up
 

СТИ́РЛИНГА ФО́РМУЛА

  • рубрика

    Рубрика: Математика

  • родственные статьи
  • image description

    В книжной версии

    Том 31. Москва, 2016, стр. 253

  • image description

    Скопировать библиографическую ссылку:


    Книжная версия:



    Электронная версия:

СТИ́РЛИНГА ФО́РМУЛА (фор­му­ла Му­ав­ра – Стир­лин­га), ра­вен­ст­во, по­зво­ляю­щее на­хо­дить при­бли­жён­ные зна­че­ния фак­то­риа­лов n!=1·2·...·n при боль­ших зна­че­ни­ях n и имею­щее вид n!=\sqrt{2\pi n}\left( \frac{e}{n} \right)^n e^{θ (n)}, где |θ(n)|\leqslant \frac{1}{12n} и e=2,71828... – ос­нование на­ту­раль­ных ло­га­риф­мов. Час­то С. ф. ис­поль­зу­ет­ся в ви­деn!\sim \sqrt{2\pi n}\left( \frac{e}{n} \right)^n, т. е. от­но­ше­ние ле­вой час­ти к пра­вой стре­мит­ся к еди­ни­це при n→∞. С. ф. в ви­де n!\approx B \sqrt{n}\left( \frac{n}{e} \right)^n бы­ла от­кры­та А. де Му­ав­ром

 >>
(1730), ко­то­рый на­шёл и при­бли­жён­ное зна­че­ние по­сто­ян­ной B, рав­ное 2,5074. С во­про­сом о точ­ном зна­че­нии B он об­ра­тил­ся к Дж. Стир­лин­гу
 >>
, пред­ло­жив­ше­му (1730) пер­вое асим­пто­тич. раз­ло­же­ние для ло­га­риф­ма гам­ма-функ­ции, т. н. ряд Стир­лин­га, из ко­торо­го сле­ду­ет, что B=\sqrt{2\pi}=2.506628.... Для на­ту­раль­ных n гам­ма-функ­ция и чис­ло n! свя­за­ны ра­вен­ст­вом Γ(n+1)=n!, из ря­да Стир­лин­га сле­ду­ет, что n!=\sqrt{2\pi n}\left( \frac{n}{e} \right)^n \times \\ \times \left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}+...\right).

Лит.: Гне­ден­ко Б. В. Очерк по ис­то­рии тео­рии ве­ро­ят­но­стей. М., 2001.

Вернуться к началу