Гармони́ческий ряд, числовой ряд $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}+\ldots \ .$$Каждый член гармонического ряда, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних, этим объясняется название гармонического ряда. При увеличении $n$ члены гармонического ряда стремятся к нулю, но гармонический ряд расходится, что было доказано Н. Оремом (около 1350), итальянским математиком П. Менголи (1650), братьями И. и Я. Бернулли в конце 17 в. и Г. В. Лейбницем (1673). Л. Эйлером (1740) было получено асимптотическое выражение для суммы $s_n$ первых $n$ членов гармонического ряда, $s_n=lnn+C+ε_n,$ где $C=0,5772156649…$ – постоянная Эйлера, а $ε_n→0$ при $n→∞$. Обобщённый гармонический ряд

$$1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\ldots+\frac{1}{n^{\alpha}}\ldots$$сходится при $α>1$ и расходится при $α<1$.

Cм. также Дзета-функция.