МАТЬЁ ФУ́НКЦИИ

МАТЬЁ ФУ́НКЦИИ, $2π$-пе­рио­дич. ре­ше­ния урав­не­ния Ма­тьё $$\frac{d^2 u}{d z^2}+(\lambda +16q\:\textrm{cos}\:2z)u=0,\:-\infty < z < \infty .$$

Пе­рио­дич. ре­ше­ния это­го урав­не­ния су­ще­ст­ву­ют толь­ко то­гда, ко­гда точ­ка $(λ, q)$ на плос­ко­сти па­ра­мет­ров ле­жит на гра­ни­це зон ус­той­чи­во­сти. Ус­ло­вие пе­рио­дич­но­сти ре­ше­ния оп­ре­де­ля­ет ряд воз­мож­ных зна­че­ний $λ$, за­ви­ся­щих от $q$. Ес­ли $q=0$, то $λ=n^2,\: n=1,2, ...,$ и М. ф. в этом слу­чае яв­ля­ют­ся $\textrm{cos}\:nz$ и $\textrm{sin}\:nz$. При $q ≠ 0$ М. ф. обо­зна­ча­ют $ce_n(z,q), se_n(z,q)$, они пред­став­ля­ют­ся в ви­де $$ce_n(z,q)=\sum_{k=0}^{\infty }a_k^n \textrm{cos}(2k+\varepsilon )z,$$

$$se_n(z,q)=\sum_{k=0}^{\infty }b_k^n \textrm{cos}(2k+\varepsilon )z,$$

где ко­эф­фи­ци­ен­ты $a_k^n$ и $b_k^n$ за­ви­сят от $q,\: ε= 0$ при чёт­ном $n$ и $ε= 1$ при не­чёт­ном $n$.

М. ф. вве­де­ны франц. ма­те­ма­ти­ком Э. Ма­тьё (1868) при ре­ше­нии за­дач о ко­ле­ба­нии эл­лип­тич. мем­бра­ны. Они при­ме­ня­ют­ся так­же при ис­сле­до­ва­нии рас­про­стра­не­ния элек­тро­маг­нит­ных волн в эл­лип­тич. ци­лин­д­ре, при изу­че­нии волн в со­су­де и ря­да др. во­про­сов.