ВИРИА́ЛА ТЕОРЕ́МА

ВИРИА́ЛА ТЕОРЕ́МА (нем. Virial, от лат. vires, мн. ч. от vis – си­ла), со­от­но­ше­ние, свя­зы­ваю­щее ср. ки­не­тич. энер­гию клас­сич. сис­те­мы $N$ час­тиц (с мас­са­ми $m_i$, ко­ор­ди­на­та­ми $\boldsymbol r_i$ и ско­ро­стя­ми $v_i$) с дей­ст­вую­щи­ми в ней си­ла­ми $\boldsymbol F_i$. По­ня­тие ви­риа­ла $C=\sum_{i}\boldsymbol r_i\boldsymbol F_i$ вве­де­но P. Ю. Э. Клаузиу­сом

. Им же в 1870 до­ка­за­на В. т., со­глас­но ко­то­рой $\overline{2K(v)}=-C$ , где $K(v)=\sum_\limits{i}m_iv_i^2/2$ – ки­не­тич. энер­гия, а чер­та свер­ху оз­на­ча­ет ус­ред­не­ние по бес­ко­неч­но боль­шо­му про­ме­жут­ку вре­ме­ни. Ес­ли си­лы $\boldsymbol F_i$ ха­рак­те­ри­зу­ют­ся по­тен­циа­лом $U_i$, то В. т. при­ни­ма­ет вид:  $$\overline{2K(v)}=\overline{\sum_{i}\boldsymbol r_i\partial U_i/\partial\boldsymbol r_i}, \ i=1,2,…,N.$$ В та­кой фор­ме В. т. спра­вед­ли­ва так­же и для кван­то­во­ме­ха­нич. сис­тем, ес­ли чер­ту свер­ху по­ни­мать как кван­то­во­ме­ха­нич. сред­нее, а стоя­щие под ней вы­ра­же­ния – как со­от­вет­ст­вую­щие этим ве­ли­чи­нам кван­то­во­ме­ха­нич. опе­ра­то­ры.

В ста­ти­стич. ме­ха­ни­ке ус­ред­не­ние по вре­ме­ни за­ме­ня­ет­ся на ус­ред­не­ние по ка­но­ни­че­ско­му рас­пре­де­ле­нию Гиб­бса. При этом ср. ки­не­тич. энер­гия $\overline{K(v)}$ока­зы­ва­ет­ся рав­ной $3NkT/2$ ($T$ – аб­со­лют­ная темп-pa, $k$ – по­сто­ян­ная Больц­ма­на). Cp. ви­ри­ал внеш­них сил, обес­пе­чи­ваю­щих на­хо­ж­де­ние сис­те­мы $N$ час­тиц внут­ри со­су­да с объ­ё­мом $V$ и под­дер­живаю­щих в нём дав­ле­ние $p$, ра­вен $3pV$. Для этой сис­те­мы В. т. мож­но за­пи­сать в ви­де ви­ри­аль­но­го урав­не­ния со­стоя­ния: $$p=nkT-\frac{1}{3V}\overline{\sum_{i}\boldsymbol r_i\partial U_i(\boldsymbol r_1, \boldsymbol r_2,...,\boldsymbol r_N)/\partial \boldsymbol r_i}, n=N/V,$$ где $U_i$ – энер­гия взаи­мо­дей­ст­вия $i$-той час­ти­цы с ос­таль­ны­ми. Это урав­не­ние мо­жет слу­жить ис­ход­ным при по­лу­че­нии урав­не­ния со­стоя­ния не­иде­аль­но­го клас­сич. га­за, в ча­ст­но­сти ви­ри­аль­но­го раз­ло­же­ния

для не­го.

Ес­ли по­тен­ци­аль­ная энер­гия яв­ля­ет­ся од­но­род­ной функ­ци­ей $n$-го по­ряд­ка, т. е. $U(r)∼r^n$, то ср. ки­не­ти­че­ская и ср. по­тен­ци­аль­ная энер­гии свя­за­ны простым со­от­но­ше­ни­ем: $\overline{K(v)}=n\overline{U(r)}/2$.­ В ча­ст­но­сти, для гар­мо­нического ос­цил­лято­ра $(n=2)\overline{K}=\overline{U}$ , для ку­ло­нов­ско­го и гра­ви­та­ци­он­но­го по­тен­циа­лов $(n=–1)\overline{K}=-\overline{U}/2$.

В. т. на­хо­дит при­ме­не­ние в ста­ти­стич. фи­зи­ке, ас­т­ро­фи­зи­ке, тео­рии атом­ных сис­тем.