Аналити́ческое продолже́ние функции, доопределение функции $f_0$, определённой на некотором подмножестве $E$ комплексного многообразия $M$, до функции $f$, голоморфной в некоторой области $D \subset M$, содержащей $E$, такое, что сужение $f \mid E=f_0$ функции $f$ на $E$ совпадает с $f_0$. Отправным в теории аналитического продолжения является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары $(D, f)$, где $D$ – область на $M$ и $f$ – голоморфная в $D$ функция. Говорят, что элементы $\left(D_0, f_0\right)$ и $\left(D_1, f_1\right)$ составляют непосредственное аналитическое продолжение друг друга через связную компоненту $\Delta$ множества $D_0 \cap D_1$, если $f_0\left|\Delta=f_1\right| \Delta$. Элемент $\left(D_0, f_0\right)$, по определению, аналитически продолжается в граничную точку $\zeta \in \partial D \subset M$, если существует непосредственное аналитическое продолжение $\left(D_1, f_1\right)$ элемента $\left(D_0, f_0\right)$ через $\Delta$ такое, что $\zeta \in \bar{\Delta} \cap D_1$. Максимальным (в $M$) аналитическим продолжением $\left(D_0, f_0\right)$ называется элемент $(D, f)$, аналитически продолжающий $f_0$ в область $D \supset D_0$, но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку $D$. Максимальное аналитическое продолжение $\left(D_0, f_0\right)$ в $M$ единственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над $M$ (римановы поверхности в случае $M=\mathbb{C}$), которые строятся из элементов, аналитически продолжающих $\left(D_0, f_0\right)$. Элемент$(D, f)$ называется аналитическим продолжением элемента $\left(D_0, f_0\right)$, если существует конечный набор элементов $\left(D_i, f_i\right)$, $i=0,1, \ldots, n$, и связных компонент $\Delta_i$ соответственно в $D_i \cap D_{i+1}$ таких, что $\left(D_n, f_n\right)=(D, f)$ и $\left(D_i, f_i\right)$, $\left(D_{i+1}, f_{i+1}\right)$ являются непосредственными аналитическими продолжениями друг друга через $\Delta_i$. Говорят, что голоморфная функция $f_0$, определённая первоначально в области $D_0$, аналитически продолжается в точку $z \in M$, если существует аналитическое продолжение$(D, f)$ элемента $\left(D_0, f_0\right)$ такое, что $z \in D$. Среди элементов, продолжающих $f_0$ в точку $z$, вводится отношение эквивалентности: $\left(D^{\prime}, f^{\prime}\right) \sim\left(D^{\prime \prime}, f^{\prime \prime}\right)$, если $z \in D^{\prime} \cap D^{\prime \prime}$ и $f^{\prime}=f^{\prime \prime}$ в окрестности $z$. На множестве классов эквивалентности $D_f$ (для всех возможных $z$) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над $M$. Функция $f_0$ естественно поднимается в $D_f$ [значение на классе эквивалентности в $z$, содержащем $\left(D_0, f_0\right)$, полагаем равным $f_0(z)$], аналитически продолжается на всю $D_f$ и в определённом смысле не продолжается ни в одну граничную точку $D_f$ над $M$.

В случае когда $M$ есть комплексная плоскость $\mathbb{C}$ или, более общо́, комплексное пространство $\mathbb{C}^n$, $n \geqslant 1$, этот процесс аналитического продолжения описывается проще. Каноническим элементом называется пара $\left(D_a, f_a\right)$, где $a \in \mathbb{C}^n$, $f_a$ – степенной ряд с центром в точке $a$ с непустой областью сходимости $D_a$. Канонический элемент $\left(D_b, f_b\right)$ называется аналитическим продолжением $\left(D_a, f_a\right)$ вдоль пути $\gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{C}^n$, если существует семейство канонических элементов $\left(D_t, f_t\right)$, $0 \leqslant t \leqslant 1$, с центрами $a_t=z(t)$ таких, что $\left(D_0, f_0\right)=\left(D_a, f_a\right)$, $\left(D_1, f_1\right)=\left(D_b, f_b\right)$ и для каждого $t_0 \in \gamma$ элементы $\left(D_t, f_t\right)$ являются непосредственными аналитическими продолжениями $\left(D_{t_0}, f_{t_0}\right)$ для всех $t$, достаточно близких к $t_0$. Семейство $\left(D_t, f_t\right)$ на самом деле определяется однозначно. Если $\gamma_\tau$, $0 \leqslant \tau \leqslant 1$, есть непрерывное семейство путей в $\mathbb{C}^n$ с общими концами $a$ и $b$ и если $\left(D_a, f_a\right)$ аналитически продолжается вдоль каждого $\gamma_\tau$, то результат $\left(D_b, f_b\right)$ не зависит от $\tau$ (теорема монодромии). Точками $D_f$ в случае $\mathbb{C}^n$ являются канонические элементы $\left(D_a, f_a\right)$, получаемые посредством аналитического продолжения вдоль всевозможных путей в $\mathbb{C}^n$; $f_a$ поднимается в $D_f$ аналитически на всю $D_f$ до голоморфной функции $f$, причём $D_f$ есть область голоморфности $f$.

Описанный общий процесс аналитического продолжения практически малоэффективен, поэтому в анализе используется много специальных методов аналитического продолжения. Сюда относятся различные аналитические представления: интегралы, зависящие от параметра [интеграл типа Коши, интеграл Лапласа, интеграл Бореля (см. Преобразование Бореля) и др.], замена переменного в степенном ряду, специальные способы суммирования степенных рядов [разложение Бореля в ряд многочленов, сходящийся в максимальном полигоне (см. Метод суммирования Бореля), ряд Миттаг-Леффлера, сходящийся в максимальной звезде (см. в статьях Звезда элемента функции, Метод суммирования Миттаг-Леффлера) и др.], принцип симметрии Римана – Шварца, функциональные и дифференциальные уравнения, определяющие функцию [например, уравнение $\Gamma(z+1)=z \Gamma(z)$ для гамма-функции, условия периодичности, чётности, симметрии и т. п.], аналитические выражения через известные функции.

К теме аналитического продолжения относятся также исследования о связи между исходным элементом аналитической функции (рядом Тейлора) и свойствами полной аналитической функции, порождаемой этим элементом (Бибербах. 1967); результаты об особых точках (критерии особых точек, мультипликационная теорема Адамара, теорема Фабри об отношении) и особых линиях (теоремы о лакунах и непродолжаемости за границу круга сходимости, например теорема Aдамара о лакунах, теорема Фабри о лакунах и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях аналитического продолжения степенного ряда со свойствами целой функции, определяющей его коэффициенты, вопросы мероморфного продолжения, мероморфное продолжение при помощи aппроксимаций Паде и др. К аналитическому продолжению следует отнести и теоремы об устранении особенностей (устранение изолированной особенности ограниченной голоморфной функции, устранение спрямляемых разрезов при условии непрерывности и т. п.), а также большой класс теорем об одновременном продолжении голоморфных функций многих комплексных переменных. В $\mathbb{C}^n$ при $n>1$ имеются области, из которых любая голоморфная функция продолжается в более широкую область (в одномерном случае такого явления нет). Поэтому важной задачей аналитического продолжения функций многих комплексных переменных является описание этих более широких областей – т. н. голоморфных расширений, например известны описания оболочек голоморфности для областей Гартогса, $n$-круговых и трубчатых областей, теоремы об устранении компактных особенностей и особенностей коразмерности $\geqslant 2$, теорема Боголюбова «острие клина» и теорема В. С. Владимирова о $C$-выпуклой оболочке (Владимиров. 1964). Известно несколько эффективных методов построения голоморфного расширения областей (Владимиров. 1964).

Аналитическое продолжение функций действительного переменного сводится к аналитическому продолжению голоморфных функций, т. к. для любой области $G \subset \mathbb{R}^n$ и любой функции $f$, аналитической в $G$, найдутся область $D \subset \mathbb{C}^n$ и голоморфная в $D$ функция $\tilde f$ такие, что $D \cap \mathbb{R}^n = G$ и $\tilde f \mid G = f$.