ОПТИМА́ЛЬНОЕ УПРАВЛЕ́НИЕ

ОПТИМА́ЛЬНОЕ УПРАВЛЕ́НИЕ, 1) в ав­то­ма­ти­за­ции – управ­ле­ние, ко­то­рое обес­пе­чи­ва­ет дос­ти­же­ние це­ли при сле­дую­щих ус­ло­ви­ях: по­лу­че­ние экс­тре­маль­но­го зна­че­ния за­дан­но­го кри­те­рия (по­ка­за­те­ля) ка­че­ст­ва управ­ле­ния и со­блю­де­ние ог­ра­ни­че­ний на управ­ляю­щие воз­дей­ст­вия и вы­ход­ные ве­ли­чи­ны (фа­зо­вые ко­ор­ди­на­ты). О. у. ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся для ре­ше­ния при­клад­ных тех­ни­че­ских (напр., кос­мич. на­ви­га­ция, ре­гу­ли­ро­ва­ние тех­но­ло­гич. про­цес­сов), эко­но­ми­че­ских (фор­ми­ро­ва­ние оп­ти­маль­но­го пла­на раз­ви­тия пред­при­ятия и др.), транс­порт­ных (напр., вы­бор наи­бо­лее эко­но­мич­ных мар­шру­тов пе­ре­воз­ки гру­зов) и др. за­дач. При по­ста­нов­ке за­да­чи О. у. не­об­хо­ди­мо учи­ты­вать ряд осо­бен­но­стей. О. у. при­ме­ня­ет­ся при управ­ле­нии ди­на­мич. про­цес­са­ми в объ­ек­те, а имен­но про­цес­са­ми пе­ре­во­да зна­че­ний за­дан­ных фа­зо­вых ко­ор­ди­нат объ­ек­та из не­ко­то­ро­го на­чаль­но­го в за­дан­ное ко­неч­ное со­стоя­ние. О. у. мо­жет быть реа­ли­зо­ва­но толь­ко при за­да­нии од­но­го кри­те­рия ка­че­ст­ва. Это, как пра­ви­ло, ха­рак­те­ри­сти­ка тра­ек­то­рии из­ме­не­ния фа­зо­вых ко­ор­ди­нат (за­дан­ная функ­цио­на­лом), за­ви­ся­щая от па­ра­мет­ров управ­ляю­щих воз­дей­ст­вий. За­да­ча О. у. за­клю­ча­ет­ся в на­хож­де­нии сре­ди мно­же­ст­ва воз­мож­ных тра­ек­то­рий дви­же­ния фа­зо­вых ко­ор­ди­нат (со­от­вет­ст­вую­щих до­сти­же­нию це­ли управ­ле­ния) та­кой тра­ек­то­рии (экс­тре­ма­ли), на ко­то­рой кри­те­рий ка­че­ст­ва при­ни­ма­ет экс­тре­маль­ное (ми­ним. или макс.) зна­че­ние. По­ка­за­те­ля­ми ка­че­ст­ва функ­цио­ни­ро­ва­ния объ­ек­тов управ­ле­ния мо­гут быть, напр., сред­нее или макс. от­кло­не­ние па­ра­мет­ров тех­нич. сис­те­мы от за­дан­ных зна­че­ний, объ­ём вы­хо­да го­то­вой про­дук­ции, за­тра­ты ма­те­риа­лов, энер­гии и др. ре­сур­сов на еди­ни­цу го­то­вой про­дук­ции. Кро­ме то­го, при по­ста­нов­ке за­да­чи О. у. долж­ны быть ука­за­ны ог­ра­ни­че­ния на из­ме­не­ния управ­ляю­щих воз­дей­ст­вий и фа­зо­вых ко­ор­ди­нат. Раз­ли­ча­ют без­ус­лов­ные и ус­лов­ные ог­ра­ниче­ния. К без­ус­лов­ным от­но­сят ог­ра­ни­че­ния та­ких ко­ор­ди­нат, ко­то­рые не мо­гут быть на­ру­ше­ны в си­лу кон­ст­рук­тив­ных и/или фи­зич. осо­бен­но­стей объ­ек­та управ­ле­ния. Ча­ще все­го к ним от­но­сят ог­ра­ни­че­ния на управ­ляю­щие воз­дей­ст­вия. Напр., для элек­тро­при­во­да это на­пря­же­ние элек­тро­се­ти, для са­мо­лё­тов – уг­лы по­во­ро­та ру­ле­вых уст­ройств. К ус­лов­ным ог­ра­ни­че­ни­ям от­но­сят ог­ра­ни­че­ния, ко­то­рые мо­гут, но не долж­ны быть по к.-л. ус­ло­ви­ям на­ру­шены при управ­ле­нии объ­ек­том. Напр., при­ме­няя элек­тро­при­вод для пе­ре­ме­ще­ния ка­би­ны лиф­та, не­об­хо­ди­мо ог­ра­ни­чи­вать ус­ко­ре­ние раз­го­на и тор­мо­же­ния ка­би­ны с учё­том фи­зио­ло­гич. воз­мож­но­стей пас­са­жи­ров. О. у. так­же тре­бу­ет зна­ния ма­те­ма­тич. мо­де­ли объ­ек­та, т. е. ма­те­ма­тич. за­ви­си­мо­стей, свя­зы­ваю­щих управ­ляю­щие воз­дей­ст­вия, вы­ход­ные и ог­ра­ни­чи­вае­мые ко­ор­ди­на­ты.

Со­во­куп­ность тех­нич. средств, осу­ще­ст­в­ляю­щих О. у., со­став­ля­ет сис­те­му О. у. (оп­ти­маль­ную сис­те­му), вклю­чаю­щую блок средств сбо­ра ин­фор­ма­ции об из­ме­не­ни­ях фа­зо­вых ко­ор­ди­нат, блок реа­ли­за­ции ал­го­рит­ма О. у. (вы­ра­бот­ки управ­ляю­щих воз­дей­ст­вий), блок реа­ли­за­ции управ­ляю­щих воз­дей­ст­вий. Наи­боль­шие труд­но­сти реа­ли­за­ции О. у. со­пря­же­ны с ус­лов­ны­ми ог­ра­ни­че­ния­ми фа­зо­вых ко­ор­ди­нат, по­сколь­ку тре­бу­ют­ся сред­ст­ва для их не­пре­рыв­но­го кон­тро­ля и под­клю­че­ния спец. ал­го­рит­мов удер­жа­ния их на за­дан­ном уров­не.

Пер­вые по­пыт­ки раз­ра­бо­тать ме­то­ды по­ис­ка О. у. объ­ек­та­ми с за­дан­ны­ми ог­ра­ни­че­ния­ми на их ко­ор­ди­на­ты пред­при­ня­ты спе­циа­ли­ста­ми, ра­бо­тав­ши­ми над про­бле­ма­ми тео­рии управ­ле­ния. Так, в кон. 1940-х гг. рос. учё­ный А. А. Фельд­ба­ум пред­ло­жил тео­ре­му об $n$-ин­тер­ва­лах, в ко­то­рой ут­вер­жда­ет­ся, что О. у. объ­ек­та­ми, опи­сы­вае­мы­ми обык­но­вен­ным диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ем с од­ним ог­ра­ни­чен­ным управ­ляю­щим воз­дей­ст­ви­ем, со­сто­ит из чис­ла $n$ зна­ко­пе­ре­мен­ных ин­тер­ва­лов, рав­но­го по­ряд­ку урав­не­ния.

В нач. 1950-х гг., кро­ме по­ис­ка ана­ли­тич. ре­ше­ний, ве­лись раз­ра­бот­ки при­бли­жён­ных инж. ре­ше­ний. Напр., ши­ро­ко при­ме­ня­ет­ся ме­тод по­ис­ка оп­ти­маль­но­го про­цес­са с по­мо­щью бы­ст­ро­дей­ствую­щей ЭВМ на ма­те­ма­тич. мо­де­ли с по­сле­дую­щим вос­про­из­ве­де­ни­ем най­ден­ных зна­че­ний управ­ляю­щих воз­дейст­вий на ре­аль­ном объ­ек­те управ­ления.

2) В ма­те­ма­ти­ке О. у. – раз­дел, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся не­клас­сич. за­да­чи ва­риа­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния. В от­ли­чие от клас­сич. ва­риа­ци­он­ных за­дач, где управ­ляю­щие па­ра­мет­ры ме­ня­ют­ся в не­ко­то­рой от­кры­той об­лас­ти (без гра­ни­цы), тео­рия О. у. ох­ва­ты­ва­ет и тот слу­чай, ко­гда управ­ляю­щие па­ра­мет­ры мо­гут при­ни­мать и гра­нич­ные зна­че­ния.

Ос­нов­ным ре­зуль­та­том тео­рии О. у. яв­ля­ет­ся прин­цип мак­си­му­ма Пон­тря­ги­на, даю­щий об­щее не­об­хо­ди­мое ус­ло­вие оп­ти­маль­но­сти управ­ле­ния. Этот ре­зуль­тат и свя­зан­ные с ним ис­сле­до­ва­ния, про­ве­дён­ные с нач. 1950-х гг. Л. С. Пон­тря­ги­ным и его со­труд­ни­ка­ми, по­слу­жи­ли ис­ход­ным пунк­том раз­ра­бот­ки тео­ре­тич., вы­чис­лит. и при­клад­ных ас­пек­тов тео­рии О. у. При ре­ше­нии ря­да за­дач О. у. с ус­пе­хом ис­поль­зу­ют­ся идеи ме­то­да ди­на­ми­че­ско­го про­грам­ми­ро­ва­ния, ос­но­вы ко­то­ро­го раз­ра­бо­та­ны Р. Белл­ма­ном и его со­труд­ни­ка­ми.

В ка­че­ст­ве ти­пич­ной для тео­рии О. у. мож­но при­вес­ти за­да­чу об О. у. объ­ек­том, ма­те­ма­тич. мо­дель ко­то­ро­го да­ёт­ся сис­те­мой обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний $$\frac{dx^i}{dt}=f^i(x^1, \dots, x^n, u^1, \dots,u^r),i=1, \dots,n, \quad\tag{1}$$где $x^1, \dots, x^n$  – фа­зо­вые ко­ор­ди­на­ты, ха­рак­те­ри­зую­щие со­стоя­ние объ­ек­та в мо­мент $t$, а $u^1, \dots, u^r$  – управ­ляю­щие па­ра­мет­ры. Управ­ле­ние объ­ек­том оз­на­ча­ет вы­бор управ­ляю­щих па­ра­мет­ров как функ­ций вре­ме­ни, $$u^j=u^j(t), j=1, \dots, r, \quad\tag{2}$$яв­ляю­щих­ся до­пус­ти­мы­ми с учё­том имею­щих­ся воз­мож­но­стей управ­ле­ния объ­ек­том. Напр., в при­клад­ных за­да­чах час­то тре­бу­ет­ся, что­бы в ка­ж­дый мо­мент вре­ме­ни точ­ка $(u^1, \dots, u^r)$ при­над­ле­жа­ла за­дан­но­му замк­ну­то­му мно­же­ст­ву $U$. По­след­нее об­стоя­тель­ст­во де­ла­ет рас­смат­ри­вае­мую ва­риа­ци­он­ную за­да­чу не­клас­си­че­ской.

Пусть за­да­ны на­чаль­ное $(x_0^1, \dots, x_0^n)$ и ко­неч­ное $(x_1^1, \dots, x_1^n)$ со­стоя­ния объ­ек­та (1). Об управ­ле­нии (2) го­во­рят, что оно реа­ли­зу­ет цель управ­ле­ния, ес­ли най­дёт­ся та­кой мо­мент вре­ме­ни $t_1 \gt t_0$, что ре­ше­ние $(x^1(t), \dots, x^n(t))$ за­да­чи $$\frac{dx^i}{dt}=f^i(x^1, \dots, x^n, u^1(t), \dots, u^r(t)), x^i(t_0)=x_0^i, i=1, \dots, n, \quad\tag{3}$$удов­ле­тво­ря­ет ус­ло­вию $x^i(t_1)=x_1^i, i=1,\dots,n$. Ка­че­ст­во это­го управ­ле­ния оце­ни­ва­ют зна­че­ни­ем функ­цио­на­ла $$J(u)=\int_{t_0}^{t_1} f^0(x^1(t),\dots,x^n(t),u^1(t),\dots,u^r(t))dt,\quad\tag{4}$$где $f^0(x^1,\dots,x^n, u^1, \dots,u^r)$ – за­дан­ная функ­ция. За­да­ча О. у. со­сто­ит в оты­ска­нии та­ко­го реа­ли­зую­ще­го цель управ­ле­ния, для ко­то­ро­го функ­цио­нал (4) при­ни­ма­ет наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние. Та­ким об­ра­зом, ма­те­ма­тич. тео­рия О. у. – это раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром рас­смат­ри­ва­ют­ся не­клас­сич. ва­риа­ци­он­ные за­да­чи оты­ска­ния экс­тре­му­мов функ­цио­на­лов на ре­ше­ни­ях урав­не­ний, опи­сы­ваю­щих управ­ляе­мые объ­ек­ты, и управ­ле­ний, на ко­то­рых реа­ли­зу­ют­ся экс­тре­му­мы.

Для этих за­дач спра­вед­ли­во сле­дую­щее не­об­хо­ди­мое ус­ло­вие оп­ти­маль­но­сти управ­ле­ния.

Прин­цип мак­си­му­ма Пон­тря­ги­на. Пусть век­тор-функ­ция $$u=u(t)=(u^1(t),\dots,u^r(t)), t_0 \leq t \leq t_1 \quad\tag{5}$$ – оп­ти­маль­ное управ­ле­ние, а век­тор-функ­ция $$x=x(t)=(x^1(t),\dots,x^n(t)), t_0 \leq t \leq t_1,$$ – со­от­вет­ст­вую­щее ему ре­ше­ние за­да­чи (3). Рас­смат­ри­ва­ют вспо­мо­гат. ли­ней­ную сис­те­му обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний $$\frac{d\psi_k}{dt}=-\sum^n_{v=0}\frac{\partial f^v(x(t),u(t))}{\partial x^k}\psi_v,\\ k=0,1,\dots,n, \quad\tag{6}$$ и функ­цию $$H(\psi,x,u)=\sum^n_{v=0}\psi_v f^v(x,u),$$за­ви­ся­щую, по­ми­мо $x$ и $u$, от век­то­ра $\psi=(\psi_0, \psi_1,\dots,\psi_n)$. То­гда у ли­ней­ной сис­те­мы (6) су­ще­ст­ву­ет та­кое не­три­ви­аль­ное ре­ше­ние $$\psi=\psi(t)=(\psi_0(t), \psi_1(t), \dots, \psi_n(t)),\\ t_0 \leq t \leq t_1,$$что для всех зна­че­ний $t$ из от­рез­ка $[t_0,t_1]$, в ко­то­рых функ­ция (5) не­пре­рыв­на, вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние $$\max_{u \in U}H(\psi(t), x(t), u)=H(\psi(t),x(t),u(t))=0$$при­чём $\psi_0(t)$ – по­сто­ян­ная, не пре­вос­хо­дя­щая ну­ля.

К ви­ду (1) обыч­но при­во­дят­ся урав­не­ния дви­же­ния в слу­чае управ­ляе­мых ме­ха­нич. объ­ек­тов с ко­неч­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды. В мно­го­числ. ре­аль­ных си­туа­ци­ях воз­ни­ка­ют и иные по­ста­нов­ки за­дач О. у., от­ли­чаю­щие­ся от при­ве­дён­ных вы­ше: за­да­чи с фик­си­ро­ван­ным вре­ме­нем, ко­гда про­дол­жи­тель­ность про­цес­са за­ра­нее за­да­на; за­да­чи со сколь­зя­щи­ми кон­ца­ми, ко­гда про на­чаль­ное и ко­неч­ное со­стоя­ния из­вест­но лишь, что они при­над­ле­жат не­ко­то­рым мно­же­ст­вам; за­да­чи с фа­зо­вы­ми ог­ра­ни­че­ния­ми, ко­гда ре­ше­ние за­да­чи (3) в ка­ж­дый мо­мент вре­ме­ни долж­но при­над­ле­жать фик­си­ро­ван­но­му замк­ну­то­му мно­же­ст­ву, и др. В за­да­чах ме­ха­ни­ки сплош­ных сред ха­рак­те­ри­зую­щая со­стоя­ние управ­ляе­мо­го объ­ек­та ве­ли­чи­на $x$ яв­ля­ет­ся функ­ци­ей не толь­ко вре­ме­ни, но и про­стран­ст­вен­ных ко­ор­ди­нат (напр., ве­ли­чи­на $x$ мо­жет опи­сы­вать рас­пре­де­ле­ние тем­пе­ра­ту­ры в те­ле с те­че­ни­ем вре­ме­ни), а за­кон дви­же­ния бу­дет диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ем с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми или ин­тег­ро­диф­фе­рен­ци­аль­ным урав­не­ни­ем. Час­то при­хо­дит­ся рас­смат­ри­вать управ­ляе­мые объ­ек­ты в слу­чае, ко­гда не­за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная при­ни­ма­ет дис­крет­ные зна­че­ния, а за­кон дви­же­ния пред­став­ля­ет со­бой сис­те­му ко­неч­но-раз­но­ст­ных урав­не­ний. На­ко­нец, отд. тео­рию со­став­ля­ет О. у. сто­хас­тич. объ­ек­та­ми.