ТЕПЛОПРОВО́ДНОСТИ УРАВНЕ́НИЕ
-
Рубрика: Физика
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ТЕПЛОПРОВО́ДНОСТИ УРАВНЕ́НИЕ, дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее изменение темп-ры $T$ в зависимости от координат $x$, $y$, $z$ и времени $t$ в сплошной среде, отд. макроскопич. части которой не перемещаются относительно друг друга. Т. у. выводится из условия теплового баланса для элементарного объёма среды (в котором могут находиться источники тепла) с учётом тепловых потоков через поверхность этого объёма, вычисляемых с помощью закона Фурье (см. в ст. Теплопроводность), и имеет вид$$\frac{\partial}{\partial t}(cρT)=\frac{\partial}{\partial x} \left( ϰ \frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y} \left( ϰ \frac{\partial T}{\partial y} \right) +\\+\frac{\partial}{\partial z} \left( ϰ \frac{\partial T}{\partial z} \right) +f(x,y,z,t),$$где $f(x,y,z,t)$ – объёмная плотность мощности тепловых источников, измеряемая в Вт/м3, $c$ – удельная теплоёмкость среды, $ρ$ – плотность среды, $ϰ$ – коэф. теплопроводности; причём $c$, $ρ$ и $ϰ$ могут зависеть от $x$, $y$, $z$, $t$ и $T$. Если параметры $c$, $ρ$ и $ϰ$ постоянны, то Т. у. приводится к виду$$\frac{\partial T}{\partial t}=a\cdot \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \right) + \frac{f}{cρ}$$где $a=ϰ/(cρ)$ – коэф. температуропроводности. Если $f=0$ и темп-ра на границе среды меняется периодически, то это уравнение имеет решение в виде температурных волн.