ТЕПЛОПРОВО́ДНОСТИ УРАВНЕ́НИЕ

ТЕПЛОПРОВО́ДНОСТИ УРАВНЕ́НИЕ, диф­фе­рен­ци­аль­ное урав­не­ние в ча­ст­ных про­из­вод­ных, опи­сы­ваю­щее из­ме­не­ние темп-ры $T$ в за­ви­си­мо­сти от ко­ор­ди­нат $x$, $y$, $z$ и вре­ме­ни $t$ в сплош­ной сре­де, отд. мак­ро­ско­пич. час­ти ко­то­рой не пе­ре­ме­ща­ют­ся от­но­си­тель­но друг дру­га. Т. у. вы­во­дит­ся из ус­ло­вия те­п­ло­во­го ба­лан­са для эле­мен­тар­но­го объ­ё­ма сре­ды (в ко­то­ром мо­гут на­хо­дить­ся ис­точ­ни­ки те­п­ла) с учё­том те­п­ло­вых по­то­ков че­рез по­верх­ность это­го объ­ё­ма, вы­чис­ляе­мых с по­мо­щью за­ко­на Фу­рье (см. в ст. Те­п­ло­про­вод­ность), и име­ет вид$$\frac{\partial}{\partial t}(cρT)=\frac{\partial}{\partial x} \left( ϰ \frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y} \left( ϰ \frac{\partial T}{\partial y} \right) +\\+\frac{\partial}{\partial z} \left( ϰ \frac{\partial T}{\partial z} \right) +f(x,y,z,t),$$где $f(x,y,z,t)$ – объ­ём­ная плот­ность мощ­но­сти те­п­ло­вых ис­точ­ни­ков, из­ме­ряе­мая в Вт/м³, $c$ – удель­ная те­п­ло­ём­кость сре­ды, $ρ$ – плот­ность сре­ды, $ϰ$ – ко­эф. те­п­ло­про­вод­но­сти; при­чём $c$, $ρ$ и $ϰ$ мо­гут за­ви­сеть от $x$, $y$, $z$, $t$ и $T$. Ес­ли па­ра­мет­ры $c$, $ρ$ и $ϰ$ по­сто­ян­ны, то Т. у. при­во­дит­ся к ви­ду$$\frac{\partial T}{\partial t}=a\cdot \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}  \right) + \frac{f}{cρ}$$где $a=ϰ/(cρ)$ – ко­эф. тем­пе­ра­ту­ро­про­вод­но­сти. Ес­ли $f=0$ и темп-ра на гра­ни­це сре­ды ме­ня­ет­ся пе­рио­ди­че­ски, то это урав­не­ние име­ет ре­ше­ние в ви­де тем­пе­ра­тур­ных волн.