ПОТЕНЦИА́ЛЬНАЯ Я́МА

ПОТЕНЦИА́ЛЬНАЯ Я́МА, об­ласть про­стран­ст­ва, в ко­то­рой по­тен­ци­аль­ная энер­гия час­ти­цы мень­ше, чем вне этой об­лас­ти. При­ме­ра­ми П. я. мо­гут слу­жить по­тен­ци­аль­ная энер­гия ос­цил­ля­то­ра $U(x)=kx^2/2$ ($x$ – от­кло­не­ние от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, $k$ – по­сто­ян­ный ко­эф.) и эф­фек­тив­ная по­тен­ци­аль­ная энер­гия $V(r)$ элек­тро­на в ку­ло­нов­ском по­ле яд­ра $U(r)∝ –1/r: V(r)=U(r)+M^2/(2mr^2)$, где $r$ – мо­дуль ра­ди­ус-век­то­ра элек­тро­на от­но­си­тель­но яд­ра, $m$ – при­ве­дён­ная мас­са, $M$ – мо­дуль век­то­ра мо­мен­та им­пуль­са.

Раз­ли­чие ме­ж­ду клас­сич. и кван­то­вым слу­ча­ем про­ще все­го вид­но на при­ме­ре пря­мо­уголь­ной П. я. ко­неч­ной глу­би­ны $U_0: U(x)=0$ при $0\lt x\lt a,\,U(x)=U_0$ при $x\lt 0$ и $x>a$. Энер­гия клас­сич. час­ти­цы $ℰ=p^2/2m+U(x)$ со­хра­ня­ет­ся, а её им­пульс $p=\pm\sqrt{2m(ℰ-U(x)}$ дол­жен быть ве­ще­ст­вен­ным. По­это­му внут­ри П. я., при $0\lt x\lt a$, дви­же­ние воз­мож­но при лю­бых $0\lt ℰ\lt U_0$, но час­ти­ца не мо­жет вый­ти за пре­де­лы П. я. – она на­хо­дит­ся в свя­зан­ном со­стоя­нии

.

В кван­то­вой ме­ха­ни­ке со­стоя­ние час­ти­цы опи­сы­ва­ет­ся вол­но­вой функ­ци­ей $ψ(x)$, а ди­на­ми­че­ским пе­ре­мен­ным от­ве­ча­ют опе­ра­то­ры; опе­ра­тор энер­гии $ℰ=–(dψ_n^2/dx^2)/(2m\hbar^2)+U(x)$, где $\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка. Свя­зан­ные со­стоя­ния $ψ_n$ час­ти­цы в по­тен­ци­аль­ной яме – это собственные функ­ции опе­ра­то­ра энер­гии, а воз­мож­ные зна­че­ния $ℰ_n$ энер­гии (уров­ни энер­гии) – соб­ст­вен­ные зна­че­ния это­го опе­ра­то­ра. При этом вол­но­вые функ­ции $ψ_n$ от­лич­ны от ну­ля не толь­ко внут­ри П. я., но и за её стен­ка­ми – они лишь экс­по­нен­ци­аль­но умень­ша­ют­ся при уда­ле­нии от стен­ки П. я. По­это­му от­лич­на от ну­ля и ве­ро­ят­ность $|ψ_n|^2$ на­хо­ж­де­ния час­ти­цы за стен­ка­ми П. я., т. е. час­ти­ца с $ℰ\lt U_0$ мо­жет по­ки­нуть П. я. вслед­ст­вие тун­нель­но­го эф­фек­та

. Лишь в пре­дель­ном слу­чае П. я. с бес­ко­неч­но вы­со­ки­ми стен­ка­ми $(U_0→∞)$ вол­но­вые функ­ции стро­го рав­ны ну­лю вне ямы – час­ти­ца «за­пер­та» в П. я. При этом ка­ж­дый $n$-й уро­вень энер­гии $ℰ_n= (nπ\hbar)^2/(2ma^2)$ квад­ра­тич­но за­ви­сит от $n$, а рас­стоя­ние ме­ж­ду уров­ня­ми умень­ша­ет­ся при уве­ли­че­нии ши­ри­ны по­тен­ци­аль­ной ямы $a$.