ОБОБЩЁННЫЕ СИ́ЛЫ

ОБОБЩЁННЫЕ СИ́ЛЫ, ска­ляр­ные ве­ли­чи­ны, иг­раю­щие роль обыч­ных сил при изу­че­нии рав­но­ве­сия или дви­же­ния ме­ха­нич. сис­те­мы, ес­ли её по­ло­же­ние оп­ре­де­ля­ет­ся обоб­щён­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми. Для го­ло­ном­ной сис­те­мы чис­ло О. с. рав­но чис­лу сте­пе­ней сво­бо­ды $n$ сис­те­мы; при этом ка­ж­дой обоб­щён­ной ко­ор­ди­на­те $q_i$ со­от­вет­ст­ву­ет своя О. с. $Q_i.$

Фор­маль­но О. с. оп­ре­де­ля­ют­ся сле­дую­щим об­ра­зом. Ес­ли по­ло­же­ние го­ло­ном­ной ме­ха­нич. сис­те­мы за­да­ёт­ся её обоб­щён­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми $q_1, ..., q_n,$ то ра­ди­ус-век­то­ры $\mathbf r_ν$ то­чек $M_ν$ сис­те­мы от­но­си­тель­но не­ко­то­рой не­под­виж­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат вы­ра­жа­ют­ся фор­му­ла­ми $\mathbf r_ν=\mathbf r_ν(q1, ..., qn, t) (ν=1, ..., N),$ где $N$ – чис­ло то­чек сис­те­мы. Эле­мен­тар­ная ра­бо­та $δA$ сил на воз­мож­ных пере­ме­ще­ни­ях $δ\mathbf r_ν$ за­да­ёт­ся вы­ра­же­нием $\delta A=\sum_{v=1}^N \mathbf F_v \delta \mathbf r_v$, где $\mathbf F_ν$ – рав­но­действую­щая всех сил, при­ло­жен­ных к точ­ке $M_ν$. Воз­мож­ные пе­ре­ме­ще­ния $δ\mathbf r_ν$ точек сис­те­мы вы­ра­жа­ют­ся че­рез ва­риации обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат $δq_i$ по фор­му­лам $\mathbf r_v=\sum_{i=1}^n (\mathbf r_v/\delta q_1)\delta q_1$. То­г­да $\delta A=\sum_{i=1}^n Q_i \delta q_1$. Ска­ляр­ная ве­ли­чи­на $Q_1=\sum_{v=1}^N \mathbf F_v (\delta \mathbf r_v/\delta q_i)$ и есть О. с., со­ответ­ст­вую­щая обоб­щён­ной ко­ор­ди­на­те $q_i.$

$t$В об­щем слу­чае О. с. яв­ля­ет­ся функ­ци­ей обоб­щён­ных ко­ор­ди­нат $q_i$, обоб­щён­ных ско­ро­стей $\dot{q_i}$ и вре­ме­ни $t$. В слу­чае, ко­гда си­лы, дей­ст­вую­щие на сис­те­му, по­тен­ци­аль­ны, при­чём по­тен­ци­аль­ная энер­гия $Π=Π(q1, ..., qn)$, О. с. мож­но вы­ра­зить че­рез по­тен­ци­аль­ную энер­гию: $Q_i=-𝜕Π /𝜕q_i (i=1, ..., n).$ Ес­ли су­ще­ст­ву­ет т. н. обоб­щён­ный по­тен­ци­ал $V=V(q_i, q̇_i, t)$, то О. с. оп­ре­де­ля­ют­ся фор­му­ла­ми$$Q_i=-\frac{\delta V}{\delta q_i}+\frac{d}{dt} \frac {\delta V}{\delta \dot{q_i}},\quad (i=1,\ldots, n).$$

В прак­тич. за­да­чах при вы­чис­ле­нии О. с. фор­маль­ное оп­ре­де­ле­ние обыч­но не ис­поль­зу­ет­ся. Вме­сто это­го под­счи­ты­ва­ет­ся эле­мен­тар­ная ра­бо­та всех сил на воз­мож­ном пе­ре­ме­ще­нии, при ко­то­ром $δq_𝑘=0$ для лю­бо­го $𝑘≠i \quadи \quadδqi>0$. То­гда $δA=Q_idq_i$, а ко­эф­фи­ци­ент $Q_i$ при $δq_i$ и есть об­общён­ная сила.

Раз­мер­ность О. с. за­ви­сит от раз­мер­но­сти со­от­вет­ст­вую­щей обоб­щён­ной ко­ор­ди­на­ты. Ес­ли $q_i$ име­ет раз­мер­ность дли­ны, то О. с. $Q_i$ бу­дет иметь раз­мер­ность обыч­ной си­лы; ес­ли $q_i$ – угол, то $Q_i$ име­ет раз­мер­ность мо­мен­та си­лы, и т. д.