ОБОБЩЁННЫЕ СИ́ЛЫ
-
Рубрика: Физика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ОБОБЩЁННЫЕ СИ́ЛЫ, скалярные величины, играющие роль обычных сил при изучении равновесия или движения механич. системы, если её положение определяется обобщёнными координатами. Для голономной системы число О. с. равно числу степеней свободы $n$ системы; при этом каждой обобщённой координате $q_i$ соответствует своя О. с. $Q_i.$
Формально О. с. определяются следующим образом. Если положение голономной механич. системы задаётся её обобщёнными координатами $q_1, ..., q_n,$ то радиус-векторы $\mathbf r_ν$ точек $M_ν$ системы относительно некоторой неподвижной системы координат выражаются формулами $\mathbf r_ν=\mathbf r_ν(q1, ..., qn, t) (ν=1, ..., N),$ где $N$ – число точек системы. Элементарная работа $δA$ сил на возможных перемещениях $δ\mathbf r_ν$ задаётся выражением $\delta A=\sum_{v=1}^N \mathbf F_v \delta \mathbf r_v$, где $\mathbf F_ν$ – равнодействующая всех сил, приложенных к точке $M_ν$. Возможные перемещения $δ\mathbf r_ν$ точек системы выражаются через вариации обобщённых координат $δq_i$ по формулам $\mathbf r_v=\sum_{i=1}^n (\mathbf r_v/\delta q_1)\delta q_1$. Тогда $\delta A=\sum_{i=1}^n Q_i \delta q_1$. Скалярная величина $Q_1=\sum_{v=1}^N \mathbf F_v (\delta \mathbf r_v/\delta q_i)$ и есть О. с., соответствующая обобщённой координате $q_i.$
$t$В общем случае О. с. является функцией обобщённых координат $q_i$, обобщённых скоростей $\dot{q_i}$ и времени $t$. В случае, когда силы, действующие на систему, потенциальны, причём потенциальная энергия $Π=Π(q1, ..., qn)$, О. с. можно выразить через потенциальную энергию: $Q_i=-𝜕Π /𝜕q_i (i=1, ..., n).$ Если существует т. н. обобщённый потенциал $V=V(q_i, q̇_i, t)$, то О. с. определяются формулами$$Q_i=-\frac{\delta V}{\delta q_i}+\frac{d}{dt} \frac {\delta V}{\delta \dot{q_i}},\quad (i=1,\ldots, n).$$
В практич. задачах при вычислении О. с. формальное определение обычно не используется. Вместо этого подсчитывается элементарная работа всех сил на возможном перемещении, при котором $δq_𝑘=0$ для любого $𝑘≠i \quadи \quadδqi>0$. Тогда $δA=Q_idq_i$, а коэффициент $Q_i$ при $δq_i$ и есть обобщённая сила.
Размерность О. с. зависит от размерности соответствующей обобщённой координаты. Если $q_i$ имеет размерность длины, то О. с. $Q_i$ будет иметь размерность обычной силы; если $q_i$ – угол, то $Q_i$ имеет размерность момента силы, и т. д.