ЛИССАЖУ́ ФИГУ́РЫ

ЛИССАЖУ́ ФИГУ́РЫ, замк­ну­тые пло­ские кри­вые, опи­сы­вае­мые точ­кой, дви­же­ние ко­то­рой яв­ля­ет­ся су­пер­по­зи­ци­ей двух вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных ко­ле­ба­ний с от­но­ше­ни­ем час­тот, рав­ным ра­цио­наль­но­му чис­лу. Впер­вые бы­ли под­роб­но изу­че­ны франц. ма­те­ма­ти­ком Ж. А. Лис­са­жу в 1857–58. Л. ф. опи­сы­ва­ют­ся сис­те­мой па­ра­мет­рич. урав­не­ний (па­ра­метр – вре­мя $t$) $$x=A_1\text{cos}(ω_1t+φ_1), \;y=A_2\text{cos}(ω_2t+φ_2)$$ при от­но­ше­нии час­тот $ω_2:ω_1$, рав­ном ра­цио­наль­но­му чис­лу. Л. ф. впи­са­ны в пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми $2A_1$ и $2A_2$, па­рал­лель­ны­ми со­от­вет­ст­вен­но осям $x$ и $y$. Вид Л. ф. за­ви­сит от от­но­ше­ния час­тот $ω_2:ω_1$ и раз­но­сти фаз $Δφ=φ_2-φ_1$ обо­их ко­ле­ба­ний. В слу­чае рав­ных час­тот $(ω_2:ω_1=1:1)$ Л. ф. пред­став­ля­ют со­бой эл­лип­сы, ко­то­рые при $Δφ=0$ или $\pmπ$ выро­ж­да­ют­ся в от­рез­ки пря­мых, а при $Δφ=\pmπ/2$ и $A_1=A_2$ пре­вра­ща­ют­ся в ок­руж­ность (рис.). При не­рав­ных час­то­тах Л. ф. име­ют бо­лее слож­ный вид. От­но­ше­ние чис­ла ка­са­ний Л. ф. го­ри­зон­таль­ной и вер­ти­каль­ной сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, в ко­то­рый она впи­са­на, да­ёт от­но­шение час­тот $ω_2:ω_1$. На­прав­ле­ние дви­же­ния точ­ки по Л. ф. оп­ре­де­ля­ет­ся раз­но­стью фаз $Δφ$.

Л. ф. мож­но на­блю­дать, напр., на эк­ра­не ос­цил­ло­гра­фа

, по­дав на его вер­тикаль­но и го­ри­зон­таль­но от­кло­няю­щие пла­сти­ны пе­ре­мен­ные на­пря­же­ния с от­но­ше­ни­ем час­тот, рав­ным ра­цио­наль­но­му чис­лу. Вид Л. ф. по­зво­ля­ет оп­ре­де­лить со­от­но­ше­ния ме­ж­ду час­то­та­ми и фа­за­ми на­пря­же­ний. При не­боль­шом от­кло­не­нии от­но­ше­ния час­тот от ра­цио­наль­но­го чис­ла на­блю­да­ет­ся мед­лен­ное из­ме­не­ние раз­но­сти фаз во вре­ме­ни и плав­ное из­ме­не­ние ви­да фи­гур Лис­са­жу.