ЭКВИВАЛЕ́НТНОСТЬ

ЭКВИВАЛЕ́НТНОСТЬ, би­нар­ное от­но­ше­ние R на мно­же­ст­ве X, об­ла­даю­щее свой­ст­ва­ми: xRx для лю­бо­го x∈X (реф­лек­сив­ность), из xRy сле­ду­ет yRx для лю­бых x, y∈X (сим­мет­рич­ность), для лю­бых x, y, z∈X из xRy и yRz сле­ду­ет xRz (тран­зи­тив­ность). Э. час­то обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом ∼. При­ме­ры Э. да­ют ра­вен­ст­во, кон­гру­энт­ность или по­до­бие гео­мет­рич. фи­гур, изо­мор­физм, рав­но­мощ­ность и т. п.

Для про­из­воль­но­го x₀∈X мно­же­ст­во , со­стоя­щее из всех эле­мен­тов x, эк­ви­ва­лент­ных x₀ по дан­ной Э., на­зы­ва­ет­ся клас­сом Э. эле­мен­та x₀. Лю­бые два клас­са од­ной Э. ли­бо не пе­ре­се­ка­ют­ся, ли­бо сов­па­да­ют, т. е. лю­бая Э. оп­ре­де­ля­ет раз­бие­ние мно­же­ст­ва на клас­сы Э. Об­рат­но, лю­бое раз­бие­ние мно­же­ст­ва на не­пе­ре­се­каю­щие­ся клас­сы по­ро­ж­да­ет эк­ви­ва­лент­ность.

Э. (или эк­ви­ва­лен­ци­ей) на­зы­ва­ет­ся так­же ло­гич. опе­ра­ция, по­зво­ляю­щая из двух дан­ных вы­ска­зы­ва­ний A и B по­лу­чить но­вое вы­ска­зы­ва­ние «A рав­но­силь­но B». В фор­ма­ли­зо­ван­ных язы­ках Э. вы­ска­зы­ва­ний A и B обыч­но обо­зна­ча­ет­ся A∼B, A↔B, A≡B, A⇔B (чи­та­ет­ся «A рав­но­силь­но B»; «A, ес­ли и толь­ко ес­ли B»; «A то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда B»; «ес­ли A, то B, и об­рат­но»; «для то­го, что­бы A, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но B»; «A эк­ви­ва­лент­но B». Вы­ска­зы­ва­ние A∼B ис­тин­но то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда A и B оба ис­тин­ны или оба лож­ны.