Эллипти́ческий интегра́л, интеграл вида

$$\int_{z_1}^{z_2} R(z,w)dz,$$где $R(z, w)$ – рациональная функция от переменных $z$ и $w$, связанных алгебраическим уравнением

$$w^2=f(z)=a_0+z^4+a_1z^3+a_2z^2+a_3z+a_4,$$в котором $f(z)$ – многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что этот интеграл нельзя выразить через одни только элементарные функции; в том случае когда такое выражение возможно, он называется псевдоэллиптическим интегралом. Примером эллиптического интеграла является эллиптический интеграл первого рода в нормальной форме Лежандра

$$\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}},$$он называется также неполным эллиптическим интегралом первого рода.

Название «эллиптический интеграл» связано с тем, что впервые они появились при спрямлении дуги эллипса и других кривых 2-го порядка в работах конце 17 – начале 18 вв. Большой вклад в теорию эллиптических интегралов внесли Иоганн и Якоб Бернулли и Л. Эйлер.