ЭЛЛИПТИ́ЧЕСКИЙ ИНТЕГРА́Л
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ЭЛЛИПТИ́ЧЕСКИЙ ИНТЕГРА́Л, интеграл вида$$\int_{z_1}^{z_2} R(z,w)dz,$$где $R(z, w)$ – рациональная функция от переменных $z$ и $w$, связанных алгебраич. уравнением $$w^2=f(z)=a_0+z^4+a_1z^3+a_2z^2+a_3z+a_4,$$ в котором $f(z)$ многочлен 3-й или 4-й степени без кратных корней. При этом обычно подразумевается, что этот интеграл нельзя выразить через одни только элементарные функции; в том случае, когда такое выражение возможно, он называется псевдоэллиптическим интегралом. Примером Э. и. является Э. и. первого рода в нормальной форме Лежандра$$\int_0^z \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}},$$он называется также неполным Э. и. первого рода.
Название «Э. и.» связано с тем, что впервые они появились при спрямлении дуги эллипса и др. кривых 2-го порядка в работах кон. 17 – нач. 18 вв. Большой вклад в теорию Э. и. внесли И. и Я. Бернулли и Л. Эйлер.