ФРЕ́ДГОЛЬМА АЛЬТЕРНАТИ́ВА
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ФРЕ́ДГОЛЬМА АЛЬТЕРНАТИ́ВА, утверждение о разрешимости уравнения Фредгольма 2-го рода $$φ (s) -\lambda\int_a^b K(s, t)φ(t)dt=f(s), \\ s\in(a,b),\tag{1}$$ а именно: либо уравнение (1) и сопряжённое ему уравнение $$\psi(s)-\overline\lambda\int_a^b\overline{K}(s,t)\psi(t)dt=g(s),\tag{2}$$ имеют единственное решение $φ$, $ψ$, каковы бы ни были известные функции $f$, $g$, либо соответствующие однородные уравнения (когда $f≡g≡0$) имеют ненулевое решение, причём число линейно независимых решений конечно и одинаково для обоих уравнений.
Во втором случае для того, чтобы уравнение (1) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы $$\int_a^bf(t)\overline\psi_k(t)dt=0,\quad k=1,...,n,$$ где $ψ_1$,$...$,$ψ_n$ – полная система линейно независимых решений однородного уравнения, соответствующего (2). При этом общее решение уравнения (1) имеет вид $$φ(s)=φ_0(s)+\sum_{k=1}^n c_kφ_k(s),$$где $φ_0$ – к.-н. решение уравнения (1), $φ_1$,$...$,$φ_n$ – полная система линейно независимых решений однородного уравнения, соответствующего (1), $c_1$,$...$,$c_n$ – произвольные постоянные. Сходные утверждения имеют место и для уравнения (2).
Ф. а. доказана Э. И. Фредгольмом (1903).