ФРЕ́ДГОЛЬМА АЛЬТЕРНАТИ́ВА

ФРЕ́ДГОЛЬМА АЛЬТЕРНАТИ́ВА, ут­вер­жде­ние о раз­ре­ши­мо­сти урав­не­ния Фред­голь­ма 2-го ро­да $$φ (s) -\lambda\int_a^b K(s, t)φ(t)dt=f(s), \\ s\in(a,b),\tag{1}$$ а имен­но: ли­бо урав­не­ние (1) и со­пря­жён­ное ему урав­не­ние $$\psi(s)-\overline\lambda\int_a^b\overline{K}(s,t)\psi(t)dt=g(s),\tag{2}$$ име­ют един­ст­вен­ное ре­ше­ние $φ$, $ψ$, ка­ко­вы бы ни бы­ли из­вест­ные функ­ции $f$, $g$, ли­бо со­от­вет­ст­вую­щие од­но­род­ные урав­не­ния (ко­гда $f≡g≡0$) име­ют не­ну­ле­вое ре­ше­ние, при­чём чис­ло ли­ней­но не­за­ви­си­мых ре­ше­ний ко­неч­но и оди­на­ко­во для обо­их урав­не­ний.

Во вто­ром слу­чае для то­го, что­бы урав­не­ние (1) име­ло ре­ше­ние, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы $$\int_a^bf(t)\overline\psi_k(t)dt=0,\quad k=1,...,n,$$ где $ψ_1$,$...$,$ψ_n$ – пол­ная сис­те­ма ли­ней­но не­за­ви­си­мых ре­ше­ний од­но­род­но­го урав­не­ния, со­от­вет­ст­вую­ще­го (2). При этом об­щее ре­ше­ние урав­не­ния (1) име­ет вид $$φ(s)=φ_0(s)+\sum_{k=1}^n c_kφ_k(s),$$ где $φ_0$ – к.-н. ре­ше­ние урав­не­ния (1), $φ_1$,$...$,$φ_n$ – пол­ная сис­те­ма ли­ней­но не­за­ви­си­мых ре­ше­ний од­но­род­но­го урав­не­ния, со­от­вет­ст­вую­ще­го (1), $c_1$,$...$,$c_n$ – про­из­воль­ные по­сто­ян­ные. Сход­ные ут­вер­жде­ния име­ют ме­сто и для урав­не­ния (2).

Ф. а. до­ка­за­на Э. И. Фред­голь­мом