ТРЕУГО́ЛЬНИК
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
ТРЕУГО́ЛЬНИК, многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами; фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя соединяющими их отрезками. Эти точки $A$, $B$, $C$ называют вершинами Т., а отрезки $AB$, $BC$, $CA$, соединяющие эти точки, – сторонами Т. (рис. 1). Длина любой стороны Т. меньше суммы длин двух других его сторон. Сумма длин сторон Т. называется его периметром. Иногда по к.-л. соображениям выделяется одна из сторон, которая называется основанием Т., тогда две другие называются боковыми сторонами Т. В зависимости от соотношения длин сторон выделяются равносторонние (или правильные) Т. (все стороны равны) и равнобедренные Т. (две боковые стороны равны).
Три угла, каждый из которых образован двумя лучами, исходящими из вершины Т. и проходящими через две другие вершины, называются внутренними углами Т. Сумма величин внутренних углов Т. равна 180°. Различают Т. остроугольные (все углы острые), тупоугольные (один угол тупой) и прямоугольные (один угол прямой). В прямоугольном Т. две стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами, а третья – гипотенузой.
Т. разбивает плоскость на две области – выпуклую – внутреннюю часть Т., и невыпуклую – внешнюю часть Т. Иногда при определении Т. к нему относят и его внутреннюю часть.
Равными (конгруэнтными) называются Т., стороны и углы которых соответственно равны. В равных Т. против соответственно равных сторон лежат равные углы. Два Т. равны, если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого Т.; или если две стороны и угол между ними одного Т. соответственно равны сторонам и углу между ними другого Т.; или если сторона и прилегающие к ней углы одного Т. соответственно равны стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника.
Два Т. называются подобными, если отношения длин соответствующих сторон равны и углы, заключённые между пропорциональными сторонами, также равны. Два Т. подобны, если три стороны одного Т. пропорциональны трём сторонам другого Т. (с одним и тем же коэффициентом пропорциональности); или если две стороны одного Т. пропорциональны двум сторонам другого Т. и углы, заключённые между этими сторонами, равны; или если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.
Отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины Т. на прямую, содержащую противоположную сторону, от вершины до этой прямой, называется высотой Т. (длину этого перпендикуляра также называют высотой Т.). Три высоты Т. пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром Т. Отрезок прямой, соединяющий вершину Т. с серединой противоположной стороны, называется медианой Т. Три медианы Т. пересекаются в одной точке, называемой центроидом Т. Центроид делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Отрезок биссектрисы внутреннего угла Т. от вершины до противоположной стороны называется биссектрисой Т. Три биссектрисы внутренних углов Т. пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в Т. (см. ниже). Биссектриса внутреннего угла делит противоположную углу сторону на отрезки, пропорциональные другим сторонам. Прямая, перпендикулярная стороне Т. и проходящая через её середину, называется серединным перпендикуляром Т. Три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности (см. ниже). На рис. 1 показаны отрезки: $AO$ – биссектриса угла при вершине $A$, $AM$ – медиана, $AH$ – высота, $ML$ – серединный перпендикуляр.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон Т., называется его средней линией. Окружность, касающаяся всех трёх сторон Т., называется вписанной окружностью. На рис. 2 показана окружность $k$, вписанная в Т. $ABC$, её радиус равен $OD=OE=OF$. Окружность, проходящая через все вершины Т., называется описанной окружностью. На рис. 3 показана окружность $K$, которая описана около Т. $ABC$, её радиус равен $OA=OB=OC$.
Некоторые основные связи между элементами Т. состоят в следующем. Пусть $a$, $b$, $c$ – стороны Т. (а также их длины), $A$, $B$, $C$ – противолежащие им углы. Для каждого Т. справедливы косинусов теорема, тангенсов теорема и теорема синусов:$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin b}=\frac{c}{\sin C}=2R,$$где $R$ – радиус описанной окружности.
Величина площади$$S=\frac{ah_a}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\\=2R^2\sin A\sin B\sin C=\\=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$$где $h_a$ – высота, опущенная на сторону $a$ (или её продолжение), $p=(a+b+c)/2$ – полупериметр, $r$ – радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности$$r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}=\\=(p-a)\tan\frac{A}{2}=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}=\frac{S}{2}.$$
Решение Т. состоит в нахождении неизвестных сторон и углов Т. по его известным сторонам и углам.
