СФЕРИ́ЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕ́ТРИЯ

СФЕРИ́ЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕ́ТРИЯ, раз­дел гео­мет­рии, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся свя­зи ме­ж­ду уг­ла­ми и сто­ро­на­ми сфе­ри­че­ских тре­уголь­ни­ков. Пусть $A$, $B$, $C$ – углы и $a$, $b$, $c$ – про­ти­во­ле­жа­щие им сто­ро­ны (ду­ги боль­шо­го кру­га, см. Cфе­ри­ческая гео­мет­рия) сфе­рич. тре­уголь­ни­ка $ABC$ (рис.). Они свя­за­ны ос­н. фор­му­ла­ми сфе­рич. три­го­но­мет­рии $$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C},\tag{1}$$ $$\cos a=\cos b \cos c+\sin b \sin c \cos A,\tag{2}$$ $$\cos A=-\cos B \cos C + \sin B \sin C \cos a,\tag{2'}$$ $$\sin a \cos B = \cos b \sin c-\sin b \cos c \cos A,\tag{3}$$ $$\sin A \cos b = \cos B \sin C+\sin B \cos C \cos a.\tag{3'}$$ Здесь сто­ро­ны $a$, $b$, $c$ из­ме­ря­ют­ся со­от­вет­ст­вую­щи­ми цен­траль­ны­ми уг­ла­ми, дли­ны этих сто­рон рав­ны со­от­вет­ст­вен­но $aR$, $bR$, $cR$, где $R$ – ра­ди­ус сфе­ры. Ме­няя обо­зна­че­ния уг­лов (и сто­рон) по пра­ви­лу кру­го­вой пе­ре­ста­нов­ки $A→B→C→A$ ($a→b→c→a$), мож­но по­лу­чить дру­гие фор­му­лы С. т., ана­ло­гич­ные ука­зан­ным. Фор­му­лы С. т. по­зво­ля­ют по лю­бым трём эле­мен­там сфе­рич. тре­уголь­ни­ка оп­ре­де­лить три ос­таль­ные (ре­шить тре­уголь­ник).

Для пря­мо­уголь­ных сфе­рич. тре­уголь­ни­ков ($A=90°$, $a$ – ги­по­те­ну­за, $b$, $c$ – ка­те­ты) фор­му­лы С. т. су­ще­ст­вен­но упро­ща­ют­ся, напр.: $$\sin b=\sin a\sin B,\tag{1'}$$ $$\cos a=\cos b\cos c,\tag{2'}$$ $$\sin a\cos B=\cos b\sin c.\tag{3'}$$

С. т. воз­ник­ла зна­чи­тель­но рань­ше пло­ской три­го­но­мет­рии при ре­ше­нии за­дач ас­тро­но­мии. Свой­ст­ва пря­мо­уголь­ных сфе­рич. тре­уголь­ни­ков, вы­ра­жае­мые фор­му­ла­ми (1')–(3'), и разл. слу­чаи их ре­ше­ния бы­ли из­вест­ны ещё Ме­не­лаю и Пто­ле­мею, араб. учё­ный На­си­рэд­дин ат-Ту­си (13 в.) рас­смот­рел все слу­чаи ре­ше­ния ко­со­уголь­ных сфе­рич. тре­уголь­ни­ков, впер­вые ука­зав ре­ше­ние в двух труд­ней­ших слу­ча­ях. Л. Эй­лер дал (1753, 1779) всю сис­те­му фор­мул сфе­рич. три­го­но­мет­рии.