СРЕ́ДНЕЕ
-
Рубрика: Математика
-
-
Скопировать библиографическую ссылку:
СРЕ́ДНЕЕ (среднее значение), числовая характеристика множества чисел или функции.
Средним для данного множества чисел $a_1$, $a_2$, $...$, $a_n$ называется некоторое число, заключённое между наибольшим и наименьшим из них. Наиболее употребительными С. являются арифметическое среднее$$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n},$$геометрическое среднее$$\sqrt{a_1a_2...a_n},$$гармоническое среднее$$\frac{n}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+...+a_n^{-1}},$$квадратичное среднее$$\sqrt{\frac{a_1^{2}+a_2^{2}+...+a_n^{2}}{n}}.$$О связях между этими С. см. в ст. Неравенства.
Рассматриваются и другие С., напр. взвешенное среднее$$\frac{p_1a_1+p_2a_2+...+p_na_n}{p_1+p_2+...+p_n},$$ где $p_1$, $p_2$, $...$, $p_n$ – положительные числа, называемые весами. Если $a_1$, $a_2$, $...$, $a_n$ – координаты материальных точек на прямой, в которых сосредоточены массы $p_1$, $p_2$, $...$, $p_n$, то взвешенное С. – координата центра тяжести этой системы точек.
Средним значением функции называется некоторое число, заключённое между её наибольшим и наименьшим значением. В математич. анализе имеется ряд «теорем о среднем», в которых устанавливается существование таких точек, в которых функция принимает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях): если $f(x)$ непрерывна на отрезке [$a$, $b$] и дифференцируема на интервале ($a$, $b$), то существует точка $c$, принадлежащая интервалу ($a$, $b$), такая, что $f(b)-f(a)=(b-a)f(c)$. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если $f(x)$ непрерывна на отрезке [$a$, $b$], а $φ(x)$ сохраняет один и тот же знак, то на интервале ($a$, $b$) существует точка $c$ такая, что $$\int_a^b f(x) φ(x) dx = f(c)\int_a^b φ(x)dx.$$ В частности, если $φ(x)≡1$, то $$\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a).$$ Вследствие этого под С. значением функции $f(x)$ на отрезке [$a$, $b$] обычно понимают величину $$\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx.$$Аналогично определяется С. значение функции нескольких переменных в некоторой области.