РАЦИОНА́ЛЬНОЕ ЧИСЛО́

РАЦИОНА́ЛЬНОЕ ЧИСЛО́, чис­ло, ко­то­рое мо­жет быть пред­став­ле­но в ви­де дро­би $m/n$, где $m$ и $n$ – це­лые чис­ла, $n≠0$. При этом дро­би $m_1/n_1$ и $m_2/n_2$ счи­та­ют рав­ны­ми Р. ч., ес­ли $m_1n_2=m_2n_1$. Все це­лые чис­ла яв­ля­ют­ся ра­цио­наль­ны­ми. От­но­ше­ние по­ряд­ка ме­ж­ду це­лы­ми чис­ла­ми рас­про­стра­ня­ет­ся на Р. ч. сле­дую­щим об­ра­зом: вся­кое по­ло­жи­тель­ное Р. ч. боль­ше вся­ко­го от­ри­ца­тель­но­го Р. ч. (по­ло­жи­тель­ное Р. ч. – от­но­ше­ние двух по­ло­жи­тель­ных или двух от­ри­ца­тель­ных це­лых чи­сел); по­ло­жи­тель­ное Р. ч. $m_1/n_1$ боль­ше по­ло­жи­тель­но­го Р. ч. $m_2/n_2$, ес­ли $m_1n_2\gt m_2n_1$. Для от­ри­ца­тель­ных Р. ч. по­ря­док бу­дет об­рат­ным по­ряд­ку про­ти­во­по­лож­ных им по­ло­жи­тель­ных ра­цио­наль­ных чи­сел.

Для Р. ч. оп­ре­де­ля­ют­ся опе­ра­ции сло­же­ния, вы­чи­та­ния, ум­но­же­ния и де­ле­ния (кро­ме де­ле­ния на нуль): $$\frac{m_1}{n_1}\pm \frac{m_2}{n_2}=\frac{m_1 n_2 \pm m_2 n_1}{n_1 n_2}; \\ \frac{m_1}{n_1} \cdot \frac{m_2}{n_2}=\frac{m_1 m_2}{n_1 n_2}; \\ \frac{m_1}{n_1}\div \frac{m_2}{n_2}=\frac{m_1 n_2}{n_1 m_2};$$ кро­ме то­го,$\frac{m}{n}=\frac{km}{kn}$ $k≠0$. Т. о., Р. ч. обра­зу­ют по­ле, ко­то­рое обо­зна­ча­ет­ся $\boldsymbol {\rm Q}$. По­ле $\boldsymbol {\rm Q}$ – ми­ни­маль­ное по­ле, со­дер­жа­щее все це­лые чис­ла.

Р. ч. мо­гут быть пред­став­ле­ны ко­неч­ны­ми или бес­ко­неч­ны­ми пе­рио­ди­че­ски­ми де­ся­тич­ны­ми дро­бя­ми. Вся­кое ир­ра­цио­наль­ное чис­ло мо­жет быть за­клю­че­но ме­ж­ду дву­мя Р. ч. (зна­че­ния по не­дос­тат­ку и из­быт­ку), раз­ность ме­ж­ду ко­то­ры­ми сколь угод­но ма­ла, т. е. мно­же­ство Р. ч. яв­ля­ет­ся плот­ным в мно­же­ст­ве дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. Оно, од­на­ко, не об­ла­да­ет свой­ст­вом пол­но­ты (не­пре­рыв­но­сти). Ми­ни­маль­ным по­пол­не­ни­ем мно­же­ст­ва Р. ч., об­ла­даю­щим свой­ст­вом пол­но­ты, яв­ля­ет­ся мно­же­ст­во дей­ст­ви­тель­ных чи­сел.